【題目】某海警基地碼頭的正西方向海里處有海礁界碑,過(guò)點(diǎn)且與成角(即北偏東)的直線(xiàn)為此處的一段領(lǐng)海與公海的分界線(xiàn)(如圖所示)。在碼頭的正西方向且距離點(diǎn)海里的領(lǐng)海海面處有一艘可疑船停留,基地指揮部決定在測(cè)定可疑船的行駛方向后,海警巡邏艇從處即刻出發(fā)。若巡邏艇以可疑船的航速的倍前去攔截,假定巡邏艇和可疑船在攔截過(guò)程中均未改變航向航速,將在點(diǎn)處截獲可疑船。
(1)若可疑船的航速為海里小時(shí),,且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑,求巡邏艇成功攔截可疑船所用的時(shí)間。
(2)若要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線(xiàn))成功攔截可疑船,求的最小值。
【答案】(1)小時(shí);(2)。
【解析】
(1) 設(shè),則,利用余弦定理求出a值,進(jìn)而得到巡邏艇成功攔截可疑船所用的時(shí)間;
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸的正方向,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè),可疑船被截獲的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓,利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系得到結(jié)果.
(1)因?yàn)檠策壨У暮剿偈强梢纱暮剿俚?倍,可疑船的航速為海里/小時(shí),所以巡邏艇的航速為海里/小時(shí),且,設(shè),則,
又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑,所以,
在中,有,
即,故,解得(負(fù)值舍去)
所以小時(shí)。
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸的正方向,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè),
因?yàn)檠策壨У暮剿偈强梢纱暮剿俚?/span>倍,所以,
故,即
故可疑船被截獲的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓,
又直線(xiàn)的方程為,即,
要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線(xiàn))成功攔截可疑船,則:
圓心在直線(xiàn)下方,且的軌跡與直線(xiàn)至多只有一個(gè)公共點(diǎn),
所以且
即,解得,
故要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線(xiàn))成功攔截可疑船,則。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).
(1)求證:VB∥平面MOC;
(2)求證:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱錐V-ABC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿(mǎn)分12分) 如圖,的外接圓的半徑為,所在的平面,,,,且,.
(1)求證:平面ADC平面BCDE.
(2)試問(wèn)線(xiàn)段DE上是否存在點(diǎn)M,使得直線(xiàn)AM與平面ACD所成角的正弦值為?若存在,
確定點(diǎn)M的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中正確的是( )
A.半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球
B.直角三角形繞一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
C.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體
D.用一個(gè)平面截圓錐底面與截面組成的部分是圓臺(tái)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題:
①若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn),則有;
②是、共線(xiàn)的充要條件;
③對(duì)空間任意一點(diǎn)P與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C,若,(,y,z∈R),則P、A、B、C四點(diǎn)共面.
其中不正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,。數(shù)列的前項(xiàng)和為,且。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和;
(2)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列,問(wèn)是否存在正整數(shù) ,使得成等差數(shù)列,若存在,求出所有滿(mǎn)足要求的;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若點(diǎn)P是直線(xiàn)2x+y+10=0上的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)PA、PB分別與圓x2+y2=4相切于A、B兩點(diǎn),則四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線(xiàn)段AC的中點(diǎn),E為線(xiàn)段PC上一點(diǎn).
(1)求證:PA⊥BD;
(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)從某廠(chǎng)生產(chǎn)的一批零件1000個(gè)中抽取20個(gè)進(jìn)行研究,應(yīng)采用什么抽樣方法?
(2)對(duì)(1)中的20個(gè)零件的直徑進(jìn)行測(cè)量,得到下列不完整的頻率分布表:(單位:mm)
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
2 | ||
6 | ||
8 | ||
合計(jì) | 20 | 1 |
①完成頻率分布表;
②畫(huà)出其頻率分布直方圖.
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