Question

【題目】圖1，平行四邊形中， ， ，現(xiàn)將沿折起，得到三棱錐（如圖2），且，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求三棱錐的體積；

（3）在的角平分線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由平面幾何知識(shí)先證明，再由線面垂直的判定的定理可得平面，從而得，進(jìn)而可得平面，最后由由線面垂直的判定的定理可得結(jié)論；（Ⅱ）由等積變換可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使，連接， ， ，先證四邊形為平行四邊形，則有∥，利用平面幾何知識(shí)可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，有，又因?yàn)?/span>為側(cè)棱的中點(diǎn)，

所以；

又因?yàn)?/span>， ，且，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以；

因?yàn)?/span>，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）解：因?yàn)?/span>， 平面，所以是三棱錐的高，

故，

又因?yàn)?/span>， , ，所以，

所以有 .

（Ⅲ）解：取中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使，連接， ， .

因?yàn)?/span>，所以射線是角的角分線.

又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以∥，

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以∥平面.

因?yàn)?/span>、互相平分，

故四邊形為平行四邊形，有∥.

又因?yàn)?/span>，所以有，

又因?yàn)?/span>，故.