【題目】已知直線,點,點是平面直角坐標系內(nèi)的動點,且點到直線的距離是點到點的距離的2.記動點的軌跡為曲線.

1)求曲線的方程;

2)過點的直線與曲線交于、兩點,若是坐標系原點)的面積為,求直線的方程;

3)若(2)中過點的直線是傾斜角不為0的任意直線,仍記與曲線的交點為,設點為線段的中點,直線與直線交于點,求的大小.

【答案】1;(2)直線;(3.

【解析】

1)由題意可得,化簡可得曲線的方程.

2)討論直線的斜率不存在和存在兩種情況.當直線的斜率不存在時,求出的面積,易判斷是否成立. 當直線的斜率存在時,設直線,由方程組消元,韋達定理可求弦長,又點到直線的距離,所以的面積,可求值,即可求直線的方程.

3)討論直線的斜率不存在和存在兩種情況. 當直線的斜率不存在時,易求的值. 當直線的斜率存在時,設直線.由(2)中的結(jié)論可得點的坐標,可寫出直線的方程,求出點的坐標.最后用向量的方法求的值.

1)根據(jù)題意,可知,,

化簡得.

.

2)因為直線過焦點,故直線與橢圓總交于、兩點.

若直線軸垂直,可算得,,不滿足條件.

于是,所求直線的斜率存在.

設直線的斜率為,即.

聯(lián)立方程組,得(此時恒成立).

的距離為.

,

化簡得,即

解得.

所求直線(或表示為一般式方程).

3)若直線的斜率不存在,即垂直軸,

根據(jù)橢圓的對稱性,知點與點重合,點,此時,有.

若直線的斜率存在,設.

由(2)可得,

.

直線的傾斜角不為零,.

直線.

.

方法1:算得.又直線方向向量為,

..

.(多想少算)

綜上,不論直線的斜率存在與否,總有.

方法2:算得,的交點為,.

可得向量的夾角滿足

,,.

綜上,不論直線的斜率存在與否,總有.

練習冊系列答案
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【題目】某商場營銷人員進行某商品的市場營銷調(diào)查時發(fā)現(xiàn),每回饋消費者一定的點數(shù),該商品每天的銷量就會發(fā)生一定的變化,經(jīng)過試點統(tǒng)計得到以下表:

反饋點數(shù)t

1

2

3

4

5

銷量(百件)/天

0.5

0.6

1

1.4

1.7

(Ⅰ)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合當?shù)卦撋唐蜂N量(千件)與返還點數(shù)之間的相關關系.試預測若返回6個點時該商品每天的銷量;

(Ⅱ)若節(jié)日期間營銷部對商品進行新一輪調(diào)整.已知某地擬購買該商品的消費群體十分龐大,經(jīng)營銷調(diào)研機構(gòu)對其中的200名消費者的返點數(shù)額的心理預期值進行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:

返還點數(shù)預期值區(qū)間

(百分比)

[1,3)

[3,5)

[5,7)

[7,9)

[9,11)

[11,13)

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

將對返點點數(shù)的心理預期值在的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個區(qū)間的30名消費者中隨機抽取6名,再從這6人中隨機抽取3名進行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中至少有1名“欲望膨脹型”消費者的概率.

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【題目】如圖,三角形ABC為直角三角形,且,,E,F分別為ABAC的中點,G,H分別為BEAF的中點(如圖一),現(xiàn)在沿EF將三角形AEF折起至,連接,GH(如圖二).

1)證明:平面;

2)當平面平面EFCB時,求異面直線GHEF所成角的余弦值.

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2 ,求點到平面的距離.

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在直角坐標系中,曲線:為參數(shù)).在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線.

(1)說明是哪一種曲線,并將的方程化為極坐標方程;

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(Ⅱ) 當時,求的面積;

(Ⅲ)設直線與橢圓的另一個交點為,當中點時,求的值 .

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