已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)動直線交橢圓于、兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過點(diǎn).若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)(2)點(diǎn)就是所求的點(diǎn)
解析試題分析:(Ⅰ)橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)連線構(gòu)成等腰直角三角形,所以,故橢圓的方程為.
又因為橢圓經(jīng)過點(diǎn),代入可得,2分
所以,故所求橢圓方程為.4分
(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率為0時,直線為,直線交橢圓于、兩點(diǎn),以為直徑的圓的方程為;
當(dāng)直線的斜率不存在時,直線為,直線交橢圓于、兩點(diǎn),以為直徑的圓的方程為,
由解得
即兩圓相切于點(diǎn),因此,所求的點(diǎn)如果存在,只能是.8分
事實上,點(diǎn)就是所求的點(diǎn).
證明如下:
當(dāng)的斜率不存在時,以為直徑的圓過點(diǎn).9分
若的斜率存在時,可設(shè)直線為,
由消去得.
記點(diǎn)、,則 10分
又因為,
所以
.
所以,即以為直徑的圓恒過點(diǎn),12分
所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)滿足條件.13分
考點(diǎn):直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評:主要是考查了解析幾何中運(yùn)用代數(shù)的方法來建立方程組結(jié)合韋達(dá)定理來研究位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點(diǎn),其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列.直線與軸正半軸和軸分別交于點(diǎn)、,與橢圓分別交于點(diǎn)、,各點(diǎn)均不重合且滿足
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,試證明:直線過定點(diǎn)并求此定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,短軸的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為,直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)。
(1)求橢圓的方程;
(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,求面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知M (-3,0)﹑N (3,0),P為坐標(biāo)平面上的動點(diǎn),且直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)m (m,m0),點(diǎn)P的軌跡加上M、N兩點(diǎn)構(gòu)成曲線C.
求曲線C的方程并討論曲線C的形狀;
(2) 若,曲線C過點(diǎn)Q (2,0) 斜率為的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A﹑B,AB中點(diǎn)為R,直線OR (O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為,求證 為定值;
(3) 在(2)的條件下,設(shè),且,求在y軸上的截距的變化范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的離心率為:2.(1)過點(diǎn)C(-1,0)且以向量為方向向量的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B,若,則當(dāng)△OAB的面積最大時,求橢圓的方程。
(2)設(shè)M,N為橢圓上的兩個動點(diǎn),,過原點(diǎn)O作直線MN的垂線OD,垂足為D,求點(diǎn)D的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)雙曲線與橢圓+=1有公共的焦點(diǎn),且與橢圓相交,它們的交點(diǎn)中一個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)、分別是軸、
軸上的動點(diǎn),且滿足.若點(diǎn)滿足.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn),直線、與直線分別交
于點(diǎn)、(為坐標(biāo)原點(diǎn)),試判斷是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,
請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的兩焦點(diǎn)是F1(0,-1),F(xiàn)2(0,1),離心率e=
(1)求橢圓方程;(2)若P在橢圓上,且|PF1|-|PF2|=1,求cos∠F1PF2。
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