Question

【題目】給定一個n項的實數(shù)列，任意選取一個實數(shù)c，變換T（c）將數(shù)列a1，a2，…，an變換為數(shù)列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|an﹣c|，再將得到的數(shù)列繼續(xù)實施這樣的變換，這樣的變換可以連續(xù)進行多次，并且每次所選擇的實數(shù)c可以不相同，第k（k∈N*）次變換記為Tk（ck），其中ck為第k次變換時選擇的實數(shù)．如果通過k次變換后，數(shù)列中的各項均為0，則稱T1（c1），T2（c2），…，Tk（ck）為“k次歸零變換”．

（1）對數(shù)列：1，3，5，7，給出一個“k次歸零變換”，其中k≤4；

（2）證明：對任意n項數(shù)列，都存在“n次歸零變換”；

（3）對于數(shù)列1，22，33，…，nn，是否存在“n﹣1次歸零變換”？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）不存在，見解析

【解析】

（1）根據(jù)定義取恰當?shù)闹颠M行變換得解；

（2）結(jié)合（1）進行歸零變換的過程，可以考慮構(gòu)造數(shù)列，經(jīng)過k次變換后，數(shù)列記為，k＝1，2，…，進行變換Tk（ck）時，，依次變換即可得證；

（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明該數(shù)列不存在“n﹣1次歸零變換”.

（1）方法1：T1（4）：3，1，1，3；T2（2）：1，1，1，1；T3（1）：0，0，0，0．

方法2：T1（2）：1，1，3，5；T2（2）：1，1，1，3；T3（2）：1，1，1，1；T4（1）：0，0，0，0．．…

（2）經(jīng)過k次變換后，數(shù)列記為，k＝1，2，…．

取，則，即經(jīng)T1（c1）后，前兩項相等；

取，則，即經(jīng)T2（c2）后，前3項相等；

…

設(shè)進行變換Tk（ck）時，其中，變換后數(shù)列變?yōu)?/span>，則；

那么，進行第k+1次變換時，取，

則變換后數(shù)列變?yōu)?/span>，

顯然有；

…

經(jīng)過n﹣1次變換后，顯然有；

最后，取，經(jīng)過變換Tn（cn）后，數(shù)列各項均為0．

所以對任意數(shù)列，都存在“n次歸零變換”．

（3）不存在“n﹣1次歸零變換”．

證明：首先，“歸零變換”過程中，若在其中進行某一次變換Tj（cj）時，cj＜min{a1，a2，…，an}，那么此變換次數(shù)便不是最少．這是因為，這次變換并不是最后的一次變換（因它并未使數(shù)列化為全零），設(shè)先進行Tj（cj）后，再進行Tj+1（cj+1），由||ai﹣cj|﹣cj+1|＝|ai﹣（cj+cj+1）|，即等價于一次變換Tj（cj+cj+1），同理，進行某一步Tj（cj）時，cj＞max{a1，a2，…，an}；此變換步數(shù)也不是最小．

由以上分析可知，如果某一數(shù)列經(jīng)最少的次數(shù)的“歸零變換”，每一步所取的ci滿足min{a1，a2，…，an}≤ci≤max{a1，a2，…，an}．

以下用數(shù)學(xué)歸納法來證明，對已給數(shù)列，不存在“n﹣1次歸零變換”．

（1）當n＝2時，對于1，4，顯然不存在“一次歸零變換”，結(jié)論成立．

（由（2）可知，存在“兩次歸零變換”變換：）

（2）假設(shè)n＝k時成立，即1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次歸零變換”．

當n＝k+1時，假設(shè)1，22，33，…，kk，（k+1）k+1存在“k次歸零變換”．

此時，對1，22，33，…，kk也顯然是“k次歸零變換”，由歸納假設(shè)以及前面的討論不難知1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次歸零變換”，則k是最少的變換次數(shù)，每一次變換ci一定滿足，i＝1，2，…，k．

因為（k+1）k+1﹣kkk＞0

所以，（k+1）k+1絕不可能變換為0，與歸納假設(shè)矛盾．

所以，當n＝k+1時不存在“k次歸零變換”．

由（1）（2）命題得證．