Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)a，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅱ）求最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，不等式

恒成立．

Answer 1

【答案】（1）不能（2）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）假設(shè)函數(shù)的圖象能與軸相切．設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于的方程，然后判斷此方程是否有解即可得到結(jié)論．（Ⅱ）將不等式變形為,設(shè)，則問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，故只需函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此在R上恒成立即可，由可得

，即為成立的必要條件，然后再證時(shí)，即可得到結(jié)論．

試題解析：

（Ⅰ）∵，

∴．

假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，

則有， 即．

顯然，將代入方程中可得．

∵，

∴方程無(wú)解．

故無(wú)論a取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切．

（Ⅱ）由題意可得原不等式可化為，

故不等式在R上恒成立．

設(shè)，則上式等價(jià)于，

要使對(duì)任意恒成立，

只需函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴在上恒成立．

則，解得，

∴在上恒成立的必要條件是：．

下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

∴，即．

則當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，．

∴恒成立．

所以實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值為3．