如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，直線與線段、分別交于點(diǎn)、.

（1）當(dāng)時(shí)，求以為焦點(diǎn)，且過中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上；
②圓是否恒過異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)?若過，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請說明理由.

(1)(2)①略②.

解析試題分析：(1)根據(jù)題意，，，求出，可得到方程；(2)①解法一：根據(jù)題意寫出的坐標(biāo)，線段的中垂線的交點(diǎn)就是圓心，將圓心坐標(biāo)代入中，可得證；解法二：設(shè)出一般方程，將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，聯(lián)立求解；②根據(jù)①，寫出圓系方程，聯(lián)立方程解得該定點(diǎn).
試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為,
當(dāng)時(shí), 的中點(diǎn)為，則                                   1分
而,所以，                                           2分
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                                           3分
(Ⅱ)①解法一:易得直線，直線
可得,再由,得                      5分
則線段的中垂線方程為,                                         6分
線段的中垂線方程為,                                 7分
由,                                                    8分
解得的外接圓的圓心坐標(biāo)為                              9分
經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線上                                   10分
②由①可得圓C的方程為                  11分
該方程可整理為,
則由,解得或,                        13分
所以圓恒過異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn),該點(diǎn)坐標(biāo)為                      14分
解法二: 易得直線，直線           5分
所以可得,                                            6分
再由<

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在軸上，離心率，點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點(diǎn)，且、、成等差數(shù)列，點(diǎn)M（1,1），求的最大值.

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已知橢圓：的長軸長為4，且過點(diǎn)．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)，若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn).

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)若拋物線上一點(diǎn)滿足，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與橢圓C交于點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)B），求證：直線NM經(jīng)過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線與直線相切，是拋物線上兩個(gè)動點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，且.
（1）求的值;
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo);
（3）求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0<a<)，曲線C的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)a變化時(shí)，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動圓C經(jīng)過點(diǎn)，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線m交曲線E于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，兩切線交于點(diǎn)C，當(dāng)△ABC的面積為時(shí)，求直線m的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是橢圓的右焦點(diǎn)，圓與軸交于兩點(diǎn)，是橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)，且.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點(diǎn)與圓相切的直線與的另一交點(diǎn)為，且的面積等于，求橢圓的方程.

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