Question

【題目】已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)為外一點(diǎn),且到的兩條切線相互垂直,求的軌跡的方程；

（3）設(shè)的另一個(gè)焦點(diǎn)為,過上一點(diǎn)的切線與（2）所求軌跡交于點(diǎn),,求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用題中條件求出的值,然后根據(jù)離心率求出的值,最后根據(jù)三者的關(guān)系求出的值,從而確定橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè),切點(diǎn)分別為,,當(dāng)時(shí),設(shè)切線方程為,與橢圓聯(lián)立消去,得,根據(jù)根的判別式,化簡(jiǎn)得,又因?yàn)?/span>在橢圓外, .又因?yàn)?/span>,所以,即,化簡(jiǎn)為,

整理即可得的軌跡方程.

（3）設(shè),先求.方法一：由相交弦定理,得.

方法二：切線的參數(shù)方程,將代入圓,因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi),整理可得.再利用公式求,所以證得.

（1）解：設(shè),

由題設(shè),得,,所以,,

所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解：如圖,設(shè),切點(diǎn)分別為,,

當(dāng)時(shí),設(shè)切線方程為,

聯(lián)立方程,得,

消去,得,①

關(guān)于的方程①的判別式,

化簡(jiǎn),得,②

關(guān)于的方程②的判別式,

因?yàn)?/span>在橢圓外,

所以,即,所以.

關(guān)于的方程②有兩個(gè)實(shí)根,分別是切線,的斜率,

因?yàn)?/span>,所以,即,化簡(jiǎn)為,

當(dāng)時(shí),可得,滿足,

所以的軌跡方程為.

（3）證明：如圖,設(shè),先求.

方法一：由相交弦定理,得

.

方法二：切線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,

,

代入圓,整理得,

因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi),

所以上述方程必有兩個(gè)不等實(shí)根,,,且,

所以,

當(dāng)時(shí),,仍有.

再求.

,

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,即,

所以,

所以.