Question

已知函數f（x）=alnx+

1

x

+

1

2x2

，a∈R．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）證明：（x-1）（e^-x-x）+2lnx＜

2

3

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：第（Ⅰ）問對函數f（x）求導，導數是含有參數a的表達式，要按a進行分類討論；
第（Ⅱ）問利用導數證明不等式，要轉化成函數求最值問題解決，利用放縮法進行證明．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

a

x

-

1

x2

-

1

x3

=

ax2-x-1

x3

…2分
   當a≤0時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）內單調遞減；…4分
   當a＞0時，x∈（0，

1+ 1+4a

2a

），f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
   x∈（

1+ 1+4a

2a

，+∞)，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；…6分
  （Ⅱ）當a=2時，由（1）可知f（x）在（0，1）內單調遞減，在（1，+∞）內單調遞增，
∴f（x）_max=f（1）=

3

2

，2lnx+

1

x

+

1

2x2

≥

3

2

…8分
  即2ln

1

x

+x+

x2

2

≥

3

2

，∴2lnx-x-

x2

2

≤-

3

2

∵（x-1）（e^-x-x）+2lnx=（x-1）e^-x-x²+x+2lnx
=（x-1）e^-x-

x2

2

+2x+(2lnx-x-

x2

2

)
＜（x-1）e^-x-

x2

2

+2x-

3

2

 令g（x）=（x-1）e^-x-

x2

2

+2x，x＞0
  而g′（x）=（2-x）（e^-x+1），可知x=2時，g（x）取得最大值，即g（x）≤g（2）=

1

e2

+2…10分
∴（x-1）e^-x-

x2

2

+2x+2lnx-x-

x2

2

=2lnx+(x-1)(e-x-x)＜

1

e2

+2-

3

2

＜

2

3

…12分

點評：本題是導數的綜合應用問題，利用導數研究函數的單調性及求函數的最值；考查了分類討論、轉化的思想及放縮法證明不等式．