Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若x＞0且x≠1，f（x）-$\frac{t}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$．
（i）求實數(shù)t的最大值；
（ii）證明不等式：lnn＜$\sum_{i=1}^n{（\frac{1}{i}）}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$（n∈N^*且n≥2）．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）（i）分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求實數(shù)t的最大值；
（ii）當(dāng)x＞1時整理得$2lnx＜\frac{{{x^2}-1}}{x}=x-\frac{1}{x}$，令$x=\frac{k}{k-1}$，則$2ln\frac{k}{k-1}＜\frac{k}{k-1}-\frac{k-1}{k}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k-1}$，即可證明不等式．

解答 解：（1）由題意x∈（0，+∞）且$f'（x）=\frac{{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{x+1-xlnx}{{x{{（x+1）}^2}}}$，∴$f'（1）=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}$，
又$f（1）=\frac{0}{2}=0$，∴f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為$y-0=\frac{1}{2}（x-1）$，即x-2y-1=0．
（2）（i）由題意知$\frac{lnx}{x+1}-\frac{lnx}{x-1}-\frac{t}{x}＞0$，
設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x+1}-\frac{lnx}{x-1}-\frac{t}{x}$，則$g'（x）=\frac{（x-1）-（x+1）}{{{x^2}-1}}lnx-\frac{t}{x}$=$\frac{1}{{1-{x^2}}}[2lnx+\frac{{t（{x^2}-1）}}{x}]$，設(shè)$h（x）=2lnx+\frac{{t（{x^2}-1）}}{x}$，則$h'（x）=\frac{2}{x}+t（1+\frac{1}{x^2}）=\frac{{t{x^2}+2x+t}}{x^2}$，
當(dāng)t≥0時，∵x＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（1）=0，∴x∈（0，1）時，h（x）＜0，
又$\frac{1}{{1-{x^2}}}＞0$，∴g（x）＜0不符合題意．
當(dāng)t＜0時，設(shè)ϕ（x）=tx²+2x+t，
①若△=4-4t²≤0即t≤1時，ϕ（x）≤0恒成立，即h'（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又h（1）=0，∴x∈（0，1）時，h（x）＞0，$\frac{1}{{1-{x^2}}}＞0$，g（x）＞0，x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，$\frac{1}{{1-{x^2}}}＜0$，g（x）＞0，符合題意．
②若△=4-4t²＞0即-1＜t＜0時，ϕ（x）的對稱軸$x=-\frac{1}{t}＞1$，∴ϕ（x）在$（1，-\frac{1}{t}）$上單調(diào)遞增，
∴$x∈（1，-\frac{1}{t}）$時，ϕ（x）＞ϕ（1）=2+2t＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在$（1，-\frac{1}{t}）$上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=0，而$\frac{1}{{1-{x^2}}}＜0$，∴g（x）＜0，不符合題意．
綜上所述t≤-1，∴t的最大值為-1．
（ii）由（i）知t=-1時，$\frac{lnx}{x+1}-\frac{lnx}{x-1}+\frac{1}{x}＞0$，
當(dāng)x＞1時整理得$2lnx＜\frac{{{x^2}-1}}{x}=x-\frac{1}{x}$，令$x=\frac{k}{k-1}$，則$2ln\frac{k}{k-1}＜\frac{k}{k-1}-\frac{k-1}{k}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k-1}$，
∴$2[ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{n}{n-1}]＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}$，
∴$2lnn＜1+2[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}]+\frac{1}{n}$，
∴$lnn＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$，即$lnn＜\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．