Question

20．在△ABC中，$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$是角A，B，C成等差數(shù)列的充分不必要條件．（充分不必要條件，充要條件，必要不充分條件）

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的余弦公式等，我們可以$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$對進行恒等變形，進而得到角A、B、C成等差數(shù)列與$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$的等價關(guān)系，再由充要條件的定義即可得到答案．

解答 解：在△ABC中，$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$⇒2sinA•sinC-sin²A=2cosA•cosC+cos²A
⇒2sinA•sinC-2cosA•cosC=cos²A+sin²A=1
⇒-2cos（A+C）=1
⇒cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$⇒A+C=$\frac{2π}{3}$=2B
⇒角A、B、C成等差數(shù)列
當角A、B、C成等差數(shù)列⇒A+C=$\frac{2π}{3}$=2B，角A有可能取90°，
故 $\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$不成立
故 $\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$是角A、B、C成等差數(shù)列的充分不必要條件．
故答案為：充分不必要條件．

點評 利用三角函數(shù)的同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的余弦公式等，對$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$進行恒等變形，探究其與A、B、C成等差數(shù)列的等價關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．