Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$，是定義在R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式；（Ⅱ）將f（x）的解析式變形，求出函數(shù)f（x）的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）在R上的奇函數(shù)，f（0）=0，得b=-1，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+a}$，
又∵f（-x）=-f（x），
∴$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+a}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+a}$，化簡得，$\frac{{2}^{x}-1}{a{•2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+a}$，
∴a=1，∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
（Ⅱ）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，求得：-1＜f（x）＜1，
∴函數(shù)值域為（-1，1）．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查求函數(shù)的值域問題，是一道基礎(chǔ)題．