【題目】已知函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù).

(1)求的值；

(2)求證: 對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn).

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）通過(guò)函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，可得恒成立，可得

恒成立，從而可求的值；(2) 由, 得, 所以 ，令，利用單調(diào)性的定義可證明在上單調(diào)遞減，從而可得結(jié)論.

(1)因?yàn)?/span>f(x)是關(guān)于x的偶函數(shù),

所以log2(2 - x + 1) + k( - x) = log2(2x + 1) + kx, 即2kx = log2= - x, 解得k = -.

(2) 由, 得log2(2x + 1) -x =x + m,

所以 m = log2(2x + 1) -x = log2(1 +). 令h(x) = log2(1 +),

設(shè)x1, x2 R, 且x1 < x2, 則>, 所以log2(1 +) > log2(1 +),

所以h(x1) – h(x2) = log2(1 +) - log2(1 +) > 0, 即 h(x1) > h(x2), ∴ h(x)在R上單調(diào)遞減.

因此, 函數(shù)y = h(x)的圖象與直線y = m的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn). 所以, 對(duì)任意實(shí)數(shù)m, 函數(shù)y = f(x)的圖象與直線y =x + m的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓C1：（x+1）2+y2=25，圓C2：（x﹣1）2+y2=1，動(dòng)圓C與圓C1和圓C2均內(nèi)切．

（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程；
（2）點(diǎn)P（1，t）為軌跡E上點(diǎn)，且點(diǎn)P為第一象限點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB斜率互為相反數(shù)，則直線AB斜率是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線l過(guò)點(diǎn) ，且直線l與曲線C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】f（x）= ．
（1）用直尺或三角板畫出y=f（x）的圖象；
（2）求f（x）的最小值和最大值以及單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知⊙O的方程為x2+y2=10．
（1）求直線：x=1被⊙O截的弦AB的長(zhǎng)；
（2）求過(guò)點(diǎn)（﹣3，1）且與⊙O相切的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中在 上為減函數(shù)的是（ ）
A.y=2cos2x﹣1
B.y=﹣tanx
C.
D.y=sin2x+cos2x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4﹣1：平面幾何
如圖AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：∠DEA=∠DFA；
（2）若∠EBA=30°，EF= ，EA=2AC，求AF的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)P（x0，y0）是函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)，且y02≥x02，則f（x）的解析式可以是_____．（填序號(hào)）

①f（x）=x﹣②f（x）=ex﹣1（e≈2.718，是一個(gè)重要常數(shù)）③f（x）=x+④y=x2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校高一年級(jí)某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)，分組為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示：

（1）試估計(jì)這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；

（2）年級(jí)決定在成績(jī)[70，100]中用分層抽樣抽取6人組成一個(gè)調(diào)研小組，對(duì)高一年級(jí)學(xué)生課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況做一個(gè)調(diào)查，則在[70，80），[80，90），[90，100]這三組分別抽取了多少人？

（3）現(xiàn)在要從（2）中抽取的6人中選出正副2個(gè)小組長(zhǎng)，求成績(jī)?cè)?/span>[80，90）中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長(zhǎng)的概率．

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