【題目】已知實數(shù),設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng),時,證明:;
(2)若有兩個極值點,證明:.
【答案】(1)證明見解析 (2)證明見解析
【解析】
(1)轉(zhuǎn)化原不等式為,令,,對稱軸,求導(dǎo)分析單調(diào)性,可得在上單調(diào)遞增,在上遞減,在上遞增,只需證明,構(gòu)造,分析單調(diào)性,即可得證;
(2)求導(dǎo),由為極值點,可得,,化簡可得,繼而構(gòu)造函數(shù)可證明,
令可得,令,求導(dǎo)研究單調(diào)性,可證明,即得證
(1),即為
即
令,則
令
令對稱軸
則
時, 時, 時,
在上單調(diào)遞增,在上遞減,且
在上遞增
故只需證明,即證
即
令
則
在上單調(diào)遞減,而
當(dāng)時,,當(dāng)時,即成立
當(dāng)時,成立;
(2)
有兩個極值點
令
當(dāng)時,;當(dāng)時,
在上遞減,上遞增
故即
由 可得
則
由得,下證即
即證
等價于證明
令
故
令 則
令
則
在上遞減
即
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù),.
(Ⅰ)證明:當(dāng)時,;
(Ⅱ)若曲線過點的切線有兩條,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面上一動點A的坐標(biāo)為.
(1)求點A的軌跡E的方程;
(2)點B在軌跡E上,且縱坐標(biāo)為.
(i)證明直線AB過定點,并求出定點坐標(biāo);
(ii)分別以A,B為圓心作與直線相切的圓,兩圓公共弦的中點為H,在平面內(nèi)是否存在定點P,使得為定值?若存在,求出點P坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為軸的正半軸,且取相等的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),設(shè)點.
(Ⅰ)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人們生活水平的不斷提高,肥胖人數(shù)不斷增多.世界衛(wèi)生組織(WHO)常用身體質(zhì)量指數(shù)(BMI)來衡量人體胖瘦成度以及是否健康,其計算公式是.成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為:BMI偏瘦;BMI為正常;BMI為偏胖;BMI為肥胖.某研究機構(gòu)為了解某快遞公司員工的身體質(zhì)量指數(shù),研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中,抽取了8名員工(編號1-8)的身高(cm)和體重(kg)數(shù)據(jù),并計算得到他們的BMI(精確到0.1)如下表:
編 號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
身高(cm) | 163 | 164 | 165 | 168 | 170 | 172 | 176 | 182 |
體重(kg) | 54 | 60 | 77 | 72 | 68 | ● | 72 | 55 |
BMI(近似值) | 20.3 | 22.3 | 28.3 | 25.5 | 23.5 | 23.7 | 23.2 | 16.6 |
(1)現(xiàn)從這8名員工中選取3人進行復(fù)檢,記抽取到BMI值為“正常”員工的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(2)研究機構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)公司員工的身高(cm)和體重(kg)之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系,在編號為6的體檢數(shù)據(jù)丟失之前調(diào)查員甲已進行相關(guān)的數(shù)據(jù)分析,并計算得出該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為,且根據(jù)回歸方程預(yù)估一名身高為180cm的員工體重為71kg,計算得到的其它數(shù)據(jù)如下:,.
①求的值及表格中8名員工體重的平均值.
②在數(shù)據(jù)處理時,調(diào)查員乙發(fā)現(xiàn)編號為8的員工體重數(shù)據(jù)有誤,應(yīng)為63kg,身高數(shù)據(jù)無誤,請你根據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計算線性回歸方程,并據(jù)此預(yù)估一名身高為180cm的員工的體重.
附:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為: ,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,且橢圓上一點的坐標(biāo)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點,且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中假命題是( )
A.若隨機變量服從正態(tài)分布,,則;
B.已知直線平面,直線平面,則“”是“”的必要不充分條件;
C.若,則在方向上的正射影的數(shù)量為
D.命題的否定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動直線與橢圓交于、兩個不同點,且的面積,其中為坐標(biāo)原點.
(1)證明和均為定值;
(2)設(shè)線段的中點為,求的最大值;
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