【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，.

（Ⅰ）證明：當(dāng)時，；

（Ⅱ）若曲線過點的切線有兩條，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，可證得；（2）利用假設(shè)切點的方式寫出切線方程，原問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個解；此時可采用零點存在定理依次判斷零點個數(shù)，得到范圍，也可以先利用分離變量的方式，構(gòu)造新的函數(shù)，然后討論函數(shù)圖像，得到范圍.

（1）證明：時，

在上遞減，在上遞增

（2）當(dāng)時，，，明顯不滿足要求；

當(dāng)時，設(shè)切點為（顯然），則有

，整理得

由題意，要求方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解

令

①當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減再遞增

而，，

，

在區(qū)間上有唯一零點，在區(qū)間上無零點，

所以此時不滿足題要求.

②當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增

不滿足在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解

③當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，

在區(qū)間上有唯一零點，所以此時不滿足題要求.

④當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，

當(dāng)即時，在區(qū)間上有唯一零點，此時不滿足題要求.

當(dāng)即時，在區(qū)間和上各有一個零點

設(shè)零點為，又這時顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減

，此時滿足題目要求.

綜上所述，的取值范圍是

（2）解法二：設(shè)切點為

由解法一的關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩解

顯然不是方程的解

故原問題等價于在區(qū)間內(nèi)有兩解

設(shè)，且

則，且

令，，則

又，；，

，

故，；，

從而，遞增，，遞減

令，

由于時，時

故，；，，

而時，，時，

故在區(qū)間內(nèi)有兩解

解得：

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）試求函數(shù)的極值點的個數(shù)；

（2）若，恒成立，求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：

1.6

1.7

1.74

1.8

10

4.953

5.474

5.697

6.050

22026

0.470

0.531

0.554

0.558

2.303

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，求證：當(dāng)時，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市春節(jié)期間7家超市的廣告費支出（萬元）和銷售額（萬元）數(shù)據(jù)如下：

超市

A

B

C

D

E

F

G

廣告費支出

1

2

4

6

11

13

19

銷售額

19

32

40

44

52

53

54

參數(shù)數(shù)據(jù)及公式：，，，，，，.

（1）若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）用對數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程：，經(jīng)計算得出線性回歸模型和對數(shù)模型的分別約為0.75和0.97，請用說明選擇哪個回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測A超市廣告費支出為8萬元時的銷售額.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，命題對任意，不等式成立；命題存在，使得成立．

（1）若p為真命題，求m的取值范圍；

（2）若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為，以極點為原點，極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與交于，兩點．

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）設(shè)點；若、、成等比數(shù)列，求的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線上有一動點，過點作直線垂直于軸，動點在上，且滿足（為坐標(biāo)原點），記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知定點，，為曲線上一點，直線交曲線于另一點，且點在線段上，直線交曲線于另一點，求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了了解一個小水庫中養(yǎng)殖的魚的有關(guān)情況，從這個水庫中多個不同位置捕撈出100條魚，稱得每條魚的質(zhì)量（單位：kg），并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖（如圖所示）．

（1）在下面表格中填寫相應(yīng)的頻率；

分組

頻率

（2）估計數(shù)據(jù)落在中的概率；

（3）將上面捕撈的100條魚分別作一記分組頻率號后再放回水庫．幾天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚，其中帶有記號的魚有6條．請根據(jù)這一情況來估計該水庫中魚的總條數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.B.是鈍角三角形

C.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍D.若，則外接圓半徑為

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