Question

【題目】如圖，已知拋物線焦點(diǎn)為，過上一點(diǎn)作切線，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn).

（1）證明：；

（2）設(shè)直線，的斜率為，的面積為，若，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)過點(diǎn)與相切的切線，與拋物線聯(lián)立，利用可得，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案；

（2）利用（1）的結(jié)果可得，代入，可得與的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式求出和點(diǎn)到的距離，則可表示出，利用換元法和求導(dǎo)求其最小值.

（1）設(shè)過點(diǎn)與相切的切線，

聯(lián)立，消去得，

由，

則，則，

因?yàn)橹本�的斜率不為0，

設(shè)直線，聯(lián)立方程得，

故；

（2）由（1）得，則

整理得，即，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在軸上方，必有，與矛盾

所以必有，則，

則

故，

則，

點(diǎn)到的距離，

，

，令，

則，

令，則

則對(duì)于函數(shù)，

則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

，

，

故的最小值為.