Question

已知圓C₁：x²+y²+4ax+4a²-4=0和圓C₂：x²+y²-2by+b²-1=0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則

1

a2

+

1

b2

的最小值為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、8
• D、9

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：由題意可得兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，可得4a²+b²=1，再利用“1”的代換，使用基本不等式求得

1

a2

+

1

b2

的最小值．

解答： 解：由題意可得兩圓相內(nèi)切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 （x+2a）²+y²=4，x²+（y-b）²=1，
圓心分別為（-2a，0），（0，b），半徑分別為2和1，故有

4a2+b2

=1，∴4a²+b²=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=（

1

a2

+

1

b2

）（4a²+b²）=5+

b2

a2

+

4a2

b2

≥5+4=9，
當(dāng)且僅當(dāng)

b2

a2

=

4a2

b2

時，等號成立，
∴

1

a2

+

1

b2

的最小值為9．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，基本不等式的應(yīng)用，得到4a²+b²=1是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．