Question

三棱錐P-ABC中中，頂點P中在底面ABC中內(nèi)的射影為O中，若
（1）三條側(cè)棱與底面所成的角相等，
（2）三條側(cè)棱兩兩垂直，
（3）三個側(cè)面與底面所成的角相等；
則點O中依次為垂心、內(nèi)心、外心的條件分別是（　　）

• A、（1）（2）（3）
• B、（3）（2）（1）
• C、（2）（1）（3）
• D、（2）（3）（1）

Answer 1

考點：三角形五心

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：三棱錐P-ABC中中，頂點P中在底面ABC中內(nèi)的射影為O，若三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則O是△ABC的外心；若三條側(cè)棱兩兩垂直，則O是△ABC是垂心；若三個側(cè)面與底面所成的角相等，則O是△ABC的內(nèi)心．

解答： 解：三棱錐P-ABC中中，頂點P中在底面ABC中內(nèi)的射影為O，
（1）若三條側(cè)棱與底面所成的角相等，
則△POA≌△POB≌△POC，
∴OA=OB=OC，
∴O是△ABC的外心．
（2）若三條側(cè)棱兩兩垂直，
則PA、PB、PC兩兩垂直，
連結(jié)AO，延長并BC于D，連結(jié)BO并延長并AC于E，
∵AP⊥BP⊥CP，
BP∩CP=P，
∴AP⊥平面BCP，
∵BC∈平面BCP，
∴AP⊥BC，
∵OP⊥平面ABC，BC∈平面ABC，
∴BC⊥OP，
∵AP∩OP=P，
∴BC⊥平面PAD，
∵AD∈平面PAD，
∴BC⊥AD，
同理AC⊥BE，
∴AD和BE分別是BC邊、AC邊上的高，
∴O是兩高的交點，∴O是△ABC是垂心．
（3）若三個側(cè)面與底面所成的角相等，
則分別作三個側(cè)面△的斜高，
由三垂線定理，得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
則∠PDO、∠PEO、∠PFO分別是三側(cè)面與底面所成二面角的平面角，
∠PDO=∠PEO=∠PFO，
∵OD=OP•cot∠PDO，
OE=OP•cot∠PEO，
OF=OP•cot∠PFO，
∴OD=OE=OF，
∴O是△ABC的內(nèi)心．
故選：D．

點評：本題考查三角形的垂心、內(nèi)心、外心的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意三垂線定理的合理運用．