【題目】過點任作一直線交拋物線于兩點,過兩點分別作拋物線的切線.
(Ⅰ)記的交點的軌跡為,求的方程;
(Ⅱ)設(shè)與直線交于點(異于點),且,.問是否為定值?若為定值,請求出定值.若不為定值,請說明理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)見解析.
【解析】分析:(Ⅰ)設(shè)切點,,交點,得切線的方程為,切線的方程為,帶入點,進而得交點的軌跡的方程是;
(Ⅱ)設(shè)點,將條件向量坐標(biāo)表示可得,,代入拋物線得,結(jié)合,可得,同理得,從而得是關(guān)于的方程的兩根,由韋達定理可得解.
詳解:(Ⅰ)設(shè)切點,,交點
由題意得切線的方程為,
切線的方程為,
又因為點分別在直線上,
所以,
則直線的方程為,又因為點在直線上,
所以,即切線交點的軌跡的方程是.
(Ⅱ)設(shè)點,
,因為,
所以,
因此,,
即,,
又因為點在拋物線上,
所以
(1)
由于點在直線上,所以,
把此式代入(1)式并化簡得:(2),
同理由條件可得:(3),
由(2),(3)得是關(guān)于的方程的兩根,
由韋達定理得.即為定值.
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【題目】已知函數(shù)有兩個不同零點.設(shè)函數(shù)的定義域為,且的最大值記為,最小值記為.
(1)求(用表示);
(2)當(dāng)時,試問以為長度的線段能否構(gòu)成一個三角形,如果不一定,進一步求出的取值范圍,使它們能構(gòu)成一個三角形;
(3)求和.
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【題目】某小區(qū)為了調(diào)查居民的生活水平,隨機從小區(qū)住戶中抽取個家庭,得到數(shù)據(jù)如下:
家庭編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
月收入x(千元) | 20 | 30 | 35 | 40 | 48 | 55 |
月支出y(千元) | 4 | 5 | 6 | 8 | 8 | 11 |
參考公式:回歸直線的方程是:,其中, .
(1)據(jù)題中數(shù)據(jù),求月支出(千元)關(guān)于月收入(千元)的線性回歸方程(保留一位小數(shù));
(2)從這個家庭中隨機抽取個,求月支出都少于萬元的概率.
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【題目】已知集合Z={(x,y)|x∈[0,2],y∈[-1,1]}.
(1)若x,y∈Z,求x+y≥0的概率;
(2)若x,y∈R,求x+y≥0的概率.
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【題目】一個總體容量為60,其中的個體編號為00,01,02,…,59.現(xiàn)需從中抽取一個容量為7的樣本,請從隨機數(shù)表的倒數(shù)第5行(下表為隨機數(shù)表的最后5行)第11~12列的18開始,依次向下,到最后一行后向右,直到取足樣本,則抽取樣本的號碼是_____________.
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95
38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80
82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 50
24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49
96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
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【題目】如圖,在多面體中,底面是邊長為2的菱形,,四邊形是矩形,和分別是和的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)若平面平面,,求平面與平面所成角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,直線與相切,求的值;
(2)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點,求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時,若函數(shù)在上的最大值和最小值的和為1,求實數(shù)的值.
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【題目】上饒市委、市政府在上饒召開上饒市全面展開新能源工程動員大會,會議動員各方力量,迅速全面展開新能源工程工作.某企業(yè)響應(yīng)號召,對現(xiàn)有設(shè)備進行改造,為了分析設(shè)備改造前后的效果,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項質(zhì)量指標(biāo)值,若該項質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.圖1是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖,表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.
(1)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān);
設(shè)備改造前 | 設(shè)備改造后 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
(2)根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù),試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進行比較;
(3)根據(jù)市場調(diào)查,設(shè)備改造后,每生產(chǎn)一件合格品企業(yè)可獲利200元,一件不合格品虧損150元,用頻率估計概率,則生產(chǎn)1000件產(chǎn)品企業(yè)大約能獲利多少元?
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
.
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