Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與橢圓

x2

9

+

y2

5

=1有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且該雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過該雙曲線的右焦點(diǎn)F₂作斜率不為零的直線與此雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)m、n，設(shè)

MF2

=λ

F2N

，當(dāng)x軸上的點(diǎn)G滿足

F1F2

⊥（

GM

-λ

GN

）時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)和漸近線方程求其標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）設(shè)出直線方程，直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，利用向量的關(guān)系，即可求得．

解答： 解：（1）由題可知：

b

a

=

3

，c=2，c²=a²+b²，解得a²=1．b²=1，
所求雙曲線方程為 x2-

y2

3

=1…（5分）
（2）設(shè)過點(diǎn)F₂的直線方程為：x=ky+2，
聯(lián)立方程組 

x2- y2 3 =1 x=ky+2

，消去x得：（3k²-1）y²+12ky+9=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則 

y1+y2= -12k 3k2-1 y1y2= 9 3k2-1

   ①…（7分）
由

MF2

=λ

F2N

得：λ=-

y1

y2

，②
設(shè)G（t，0），由

F1F2

=（4，0），及

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)得：
（x₁-t-λx₂+λt，y₁-λy₂）•（4，0），即x₁-t-λx₂+λt=0，③…（10分）
由②，③得ky₁+2-t+

y1

y2

(ky2+2)-

y1

y2

t=0，
代入上述條件得：t=

1

2

，即G（

1

2

，0）．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的相交，向量的應(yīng)用．