Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R）．
（1）若a=0，當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)恒有f（x）≥0，求b 的取值范圍；
（2）若a≠0且b=-1，試在直角坐標(biāo)平面內(nèi)找出橫坐標(biāo)不同的兩個(gè)點(diǎn)，使得函數(shù)y=f（x）的圖象永遠(yuǎn)不經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)；
（3）若a≠0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[3，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出a=0的解析式，再由一次函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式，即可得到范圍；
（2）b=-1時(shí)，y=a（x²-1）-x-2，當(dāng)x²=1時(shí)，無(wú)論a取任何值，y=-x-2為定值，y=f（x）圖象一定過(guò)點(diǎn)（1，-3）和（-1，-1），運(yùn)用函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（3）由題意，存在t∈[3，4]，使得at²+（2b+1）t-a-2=0，即（t²-1）a+（2t）b+t-2=0，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離意義可知

a2+b2

≥

|t-2|

(t2-1)2+4t2

=

|t-2|

t2+1

，由此只要求

|t-2|

t2+1

，t∈[3，4]的最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（2b+1）x-2，
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)恒有f（x）≥0，
則f（

1

2

）≥0且f（1）≥0，
即b-

3

2

≥0且2b-1≥0，
解得b≥

3

2

；
（2）b=-1時(shí)，y=a（x²-1）-x-2，
當(dāng)x²=1時(shí)，無(wú)論a取任何值，y=-x-2為定值，
y=f（x）圖象一定過(guò)點(diǎn)（1，-3）和（-1，-1）
由函數(shù)定義可知函數(shù)圖象一定不過(guò)A（1，y₁）（y₁≠-3）和B（-1，y₂）（y₂≠-1）；
（3）由題意，存在t∈[3，4]，使得at²+（2b+1）t-a-2=0
即（t²-1）a+（2t）b+t-2=0，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離意義可知

a2+b2

≥

|t-2|

(t2-1)2+4t2

=

|t-2|

t2+1

，
由此只要求

|t-2|

t2+1

，t∈[3，4]的最小值．
令g（t）=

|t-2|

t2+1

，t∈[3，4]
設(shè)u=t-2，u∈[1，2]，則
g（t）=f（u）=

u

u2+4u+5

=

1

u+ 5 u +4

∴u=1，即t=3時(shí)，g（t）取最小值

1

10

，
∴t=3時(shí)，a²+b²的最小值為

1

100

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題，主要考查一次函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用主元法和直線(xiàn)和圓有交點(diǎn)的條件是解題的關(guān)鍵．