【題目】函數(shù)f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.1＜a＜e
B.1＜a＜e
C.0＜a＜e
D.e ＜a＜e

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個不同的零點 ∴等價于方程ax=x3恰有兩個不同的解．
當0＜a＜1時，y=ax與y=x3的圖象只有一個交點，
不符合題意．
當a＞1時，y=ax與y=x3的圖象在x∈（﹣∞，0）上沒有交點，所以只考慮x＞0，
于是可兩邊同取自然對數(shù)，得xlna=3lnx，即lna= ，
令g（x）= ，則 ，
當x∈（0，e）時，g（x）單調(diào)遞增，
當x＜1時，當g（x）＜0，

x∈（e，+∞）時，g（x）單減且g（x）＞0．
∴要有兩個交點，0＜lna＜g（e）= ，即1＜a＜ ．
故選：A
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．

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（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2 ， 是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（3）求證：當x∈（0，e]時，e2x2﹣ x＞（x+1）lnx．

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