Question

如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）證明直線∥；
（II）求棱錐F—OBED的體積。

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）

第一問(wèn)中運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理，可以求證線線平行，結(jié)合了三角形的中位線定理。第二問(wèn)中，求解棱錐的體積問(wèn)題，一般就是求解底面積和高即可。先建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示三角形的面積，，，結(jié)合向量的關(guān)系式得到體積公式。
解：
（I）（綜合法）
證明：設(shè)G是線段DA與EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn). 由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以

=

    OB∥1/2DE，OB =1/2DE，OG=OD=2，

   同理，設(shè)G’是線段DA與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有OG’=OD=2
又由于G和G’都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與G’重合.
在△GED和△GFD中，由

=

 OB∥1/2DE，OB =1/2DE和OC∥1/2DF，OC=1/2DF

可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是△GEF的中位線，故BC∥EF.
（向量法）
過(guò)點(diǎn)F作FQAD，交AD于點(diǎn)Q，連QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QE為X軸正向，QD為y軸正向，DF為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
由條件知
則有
所以即得BC∥EF.
（II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故
所以
過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F—OBED的高，且FQ=，所以