【題目】已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=CC1= AB,E是線段CC1的中點(diǎn),連接AE,B1E,AB1 , B1C,BC1 , 得到的圖形如圖所示. (Ⅰ)證明BC1⊥平面AB1C;
(Ⅱ)求二面角E﹣AB1﹣C的大。

【答案】證明:(Ⅰ)∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=CC1= AB, ∴AC2+BC2=AB2 , ∴AC⊥BC,
以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AC=BC=CC1= AB=1,
則B(0,1,0),C1(0,0,1),A(1,0,0),B1(0,1,1),C(0,0,0),
=(0,﹣1,1), =(﹣1,1,1), =(﹣1,0,0), =(﹣1,0,1),
=0, =0﹣1+1=0,
∴BC1⊥AC,BC1⊥AB1 ,
∵AC∩AB1=A,∴BC1⊥平面AB1C.
解:(Ⅱ)∵BC1⊥平面AB1C,∴ =(0,﹣1,1)是平面AB1C的法向量,
E(0, ,0), =(﹣1,0, ),
設(shè)平面AB1E的法向量 =(x,y,z),
,取x=1,得 =(1,﹣1,2),
設(shè)二面角E﹣AB1﹣C的大小為θ,
則cosθ= = =
∴θ=30°.
∴二面角E﹣AB1﹣C的大小為30°.

【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出AC⊥BC,以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明BC1⊥平面AB1C.(Ⅱ)求出平面AB1C的法向量,和平面AB1E的法向量,利用向量法能求出二面角E﹣AB1﹣C的大。
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊系列答案
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B.[ ,1]
C.[ ]
D.[ ]

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②直線AM與BN是平行直線;
③直線BN與MB1是異面直線;
④直線AM與DD1是異面直線.
其中正確的結(jié)論為(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上).

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A.
B.
C.1
D.2

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【題目】下列敘述: ①函數(shù) 是奇函數(shù);
②函數(shù) 的一條對稱軸方程為 ;
③函數(shù) , ,則f(x)的值域?yàn)?
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所有正確結(jié)論的序號是

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A.5,10,15
B.3,9,18
C.3,10,17
D.5,9,16

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