【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若函數(shù)有零點,其實數(shù)的取值范圍.

(Ⅱ)證明:當時,

【答案】(1)(2)見解析

【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導數(shù),討論兩種情況,分別研究函數(shù)的單調(diào)性,求其最值,結(jié)合函數(shù)的圖象和零點定理即可求出的取值范圍;(2)問題轉(zhuǎn)化為,令,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論求出函數(shù)的最值,即可證明.

試題解析:(1)函數(shù)的定義域為.由,得.

①當時, 恒成立,函數(shù)上單調(diào)遞增,又,所以函數(shù)在定義域上有個零點.

②當時,則時, 時, .所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當.當,即時,又,所以函數(shù)在定義域上有個零點.

綜上所述實數(shù)的取值范圍為.

(2)要證明當時, ,即證明當時, ,即,令,則,當時, ;當時, .所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當時, .于是,當時, .①令,則.當時, ;當時, .所以函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.當時, .于是,當時, .②顯然,不等式①、②中的等號不能同時成立.

故當時, ).

練習冊系列答案
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