【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,沿AD將△ABC折成60°的二面角B-AD-C,如圖2.
(1)證明:平面ABD⊥平面BCD;
(2)設E為BC的中點,BD=2,求異面直線AE與BD所成的角的大小.
【答案】(1)見解析(2)異面直線AE與BD所成的角的大小為60°.
【解析】試題分析:(1)由折疊可知AD⊥CD,AD⊥BD,再根據(jù)線面垂直判定定理得AD⊥平面BCD.最后根據(jù)面面垂直判定定理得結論(2)線線角找平行:取CD的中點F,則結合三角形中位線性質得∠AEF為異面直線AE與BD所成的角,最后通過解三角形得異面直線AE與BD所成的角的大小
試題解析:(1)因為折起前AD是BC邊上的高,
則當△ABD折起后,AD⊥CD,AD⊥BD
又CD∩BD=D,則AD⊥平面BCD.
因為AD平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD.
(2)取CD的中點F,連接EF,則EF∥BD,
所以∠AEF為異面直線AE與BD所成的角.
連結AF、DE.由BD=2,則EF=1,AD=2,CD=6,DF=3.
在Rt△ADF中,AF==.
在△BCD中,由題設∠BDC=60°,則
BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC=28,即BC=2,
從而BE=BC=,cos∠CBD==-.
在△BDE中,DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos∠CBD=13.
在Rt△ADE中,AE==5.
在△AEF中,cos∠AEF==.
所以異面直線AE與BD所成的角的大小為60°.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市戶居民的月平均用電量(單位:度),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖.
(I)求直方圖中的值;
(II)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(III)在月平均用電量為,,,的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取戶居民,則月平均用電量在的用戶中應抽取多少戶?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球,從中隨機抽取個作為樣本,稱出它們的重量(單位:克),重量分組區(qū)間為,,,,由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖).
(Ⅰ)求的值,并根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值;
(Ⅱ)從盒子中隨機抽取個小球,其中重量在內(nèi)的小球個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望. (以直方圖中的頻率作為概率).
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【題目】某校高三()班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見部分如下,據(jù)此解答如下問題.
(1)求全班人數(shù)及分數(shù)在之間的頻數(shù),并估計該班的平均分數(shù);
(2)若要從分數(shù)在之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況,在抽取的試卷中,求至少有一份分數(shù)在之間的概率.
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【題目】為方便市民休閑觀光,市政府計劃在半徑為200米,圓心角為的扇形廣場內(nèi)(如圖所示),沿邊界修建觀光道路,其中分別在線段上,且兩點間距離為定長米.
(1)當時,求觀光道段的長度;
(2)為提高觀光效果,應盡量增加觀光道路總長度,試確定圖中兩點的位置,使觀光道路總長度達到最長?并求出總長度的最大值.
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【題目】某學校為了解學校食堂的服務情況,隨機調查了50名就餐的教師和學生.根據(jù)這50名師生對餐廳服務質量進行評分,繪制出了頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組為.
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)從評分在的師生中,隨機抽取2人,求此人中恰好有1人評分在上的概率;
(3)學校規(guī)定:師生對食堂服務質量的評分不得低于75分,否則將進行內(nèi)部整頓,試用組中數(shù)據(jù)估計該校師生對食堂服務質量評分的平均分,并據(jù)此回答食堂是否需要進行內(nèi)部整頓.
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【題目】高二數(shù)學期中測試中,為了了解學生的考試情況,從中抽取了個學生的成績(滿分為100分)進行統(tǒng)計.按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出得分在[50,60), [90,100]的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的值;
(2)在選取的樣本中,從成績是80分以上(含80分)的同學中隨機抽取3名參加志愿者活動,所抽取的3名同學中至少有一名成績在[90,100]內(nèi)的概率。.
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【題目】某班倡議假期每位學生至少閱讀一本名著,為了解學生的閱讀情況,對該班所有學生進行了調查.調查結果如下表:
(1)試根據(jù)上述數(shù)據(jù),求這個班級女生閱讀名著的平均本數(shù);
(2)若從閱讀5本名著的學生中任選2人交流讀書心得,求選到男生和女生各1人的概率;
(3)試比較該班男生閱讀名著本數(shù)的方差與女生閱讀名著本數(shù)的方差的大小(只需寫出結論).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】求適合下列條件的直線方程:
(1)經(jīng)過點P(3,2)且在兩坐標軸上的截距相等;
(2)經(jīng)過點A(-1,-3),傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.
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