【題目】已知a,b是實數(shù),函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+b.
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當a>0時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值;
(3)若存在a∈[﹣3,0],使得函數(shù)f(x)在[﹣4,5]上恒有三個零點,求b的取值范圍.
【答案】
(1)解:當a=2時,f(x)=x|x﹣2|+b= ,
由二次函數(shù)的單調(diào)性知,
f(x)在(﹣∞,1]上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)解:設(shè)g(x)=x|x﹣a|= ,ρ
由于a>0且1≤x≤2,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知,
若f(1)=f(2),
即g(1)=g(2),
則|1﹣a|=2|2﹣a|,
平方得1﹣2a+a2=16﹣16a+4a2,
即3a2﹣14a+15=0,
得a=3或a= ,
當0<a≤ 時,g(2)≥g(1),此時g(2)最大,即f(2)最大,最大值為f(2)=2|2﹣a|+b=4﹣2a+b,
若 <x<3時,g(2)<g(1),此時g(1)最大,即f(1)最大,最大值為f( )=|1﹣a|+b=1﹣a+b,
若a≥3時,g(2)>g(1),此時g(2)最大,即f(2)最大,最大值為f(2)=2|2﹣a|+b=2a﹣4+b,
(3)解:若存在a∈[﹣3,0],使得函數(shù)f(x)在[﹣4,5]上恒有三個零點,
則存在a∈[﹣3,0],使得b=﹣x|x﹣a|有三個不同的實根;
令g(x)=﹣x|x﹣a|= ,
(ⅰ)當a=0時,g(x)在[﹣4,5]上單調(diào)遞減,故b無解;
(ⅱ)當﹣3≤a<0時,g(x)在(﹣∞,a)上單調(diào)遞減,在[a, ]上單調(diào)遞增,在( ,+∞)上單調(diào)遞減,
∵g(﹣4)=4|4+a|=16+4a,g(a)=0,g( )= ,g(5)=5a﹣25,
∴g(﹣4)﹣g( )= >0,g(a)﹣g(5)=25﹣5a>0,
∴0<b< ,
∴0<b< .
【解析】(1)當a=2時,作出函數(shù)f(x)的表達式,利用數(shù)形結(jié)合即可求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當a>0時,先求出f(1)=f(2),然后利用數(shù)形結(jié)合即可函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值;(3)利用參數(shù)分離法將條件進行轉(zhuǎn)化,利用數(shù)形結(jié)合即可求b的取值范圍.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當時,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2(x﹣a)(a∈R)在x= 處取得極值.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[0,3]的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex , g(x)=ln 的圖象分別與直線y=m交于A,B兩點,則|AB|的最小值為( )
A.2
B.2+ln2
C.e2
D.2e﹣ln
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax4lnx+bx4﹣c在x=1處取得極值﹣3﹣c.
(1)試求實數(shù)a,b的值;
(2)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對任意x>0,不等式f(x)≥﹣2c2恒成立,求實數(shù)c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為等差數(shù)列,前n項和為, 是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0, ,, .
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓 M與圓N:(x﹣ )2+(y+ )2=r2關(guān)于直線y=x對稱,且點D(﹣ , )在圓M上.
(1)判斷圓M與圓N的公切線的條數(shù);
(2)設(shè)P為圓M上任意一點,A(﹣1, ),B(1, ),P,A,B三點不共線,PG為∠APB的平分線,且交AB于G,求證:△PBG與△APG的面積之比為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為梯形, 底面, , , , .
(1)求證:平面 平面;
(2)設(shè)為上的一點,滿足,若直線與平面所成角的正切值為,求二面角的余弦值.
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