【題目】已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均不相同,a1=1,定義,其中n,k∈N*.

(1)若,求;

(2)若bn+1(k)=2bn(k)對(duì)均成立,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn

(i)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(ii)若k,t∈N*,且S1,SkS1,StSk成等比數(shù)列,求kt的值.

【答案】(1);(2)(i);(ii)k=2,t=3.

【解析】

(1)當(dāng)時(shí),由新定義可得利用累加法可得結(jié)果;

(2)(i)bn+1(k)=2bn(k)對(duì)均成立,由新定義可得,從而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(ii)由(i)可知Sn=2n-1.因?yàn)?/span>S1,SkS1,StSk成等比數(shù)列,

可得2t-2=(2k-1)2-32k-2+1對(duì)k分類討論可知kt的值.

(1)因?yàn)?/span>

所以,

所以.

(2)(i)因?yàn)?/span>bn+1(k)=2bn(k),

,

k=1, ,……………①

k=2,,……………②

由①得,……………③

②+③得,……………④

①+④得,

,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

所以

(ii)由(i)可知Sn=2n-1.

因?yàn)?/span>S1,SkS1,StSk成等比數(shù)列,

所以(SkS1)2S1(StSk),即(2k-2)2=2t-2k,

所以2t=(2k)2-32k+4,即2t-2=(2k-1)2-32k-2+1(*).

由于SkS1≠0,所以k≠1,即k≥2.

當(dāng)k=2時(shí),2t=8,得t=3.

當(dāng)k≥3時(shí),由(*),得(2k-1)2-32k-2+1為奇數(shù),

所以t-2=0,即t=2,代入(*)得22k-2-32k-2=0,即2k=3,此時(shí)k無正整數(shù)解.

綜上,k=2,t=3.

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