【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)a<0時(shí),若x>0,使f(x)≤0成立,求a的取值范圍;
(2)令g(x)=f(x)﹣(a+1)x,a∈(1,e],證明:對(duì)x1 , x2∈[1,a],恒有|g(x1)﹣g(x2)|<1.

【答案】
(1)解:當(dāng)a<0,由

令f′(x)=0,

列表:

x

f′(x)

0

+

f(x)

減函數(shù)

極小值

增函數(shù)

這是

x>0,使f(x)≤0成立,

,

∴a≤﹣e,

∴a范圍為(﹣∞,﹣e].


(2)解:因?yàn)閷?duì)x∈[1,a], ,所以g(x)在[1,a]內(nèi)單調(diào)遞減.所以

要證明|g(x1)﹣g(x2)|<1,

只需證明 <1,

即證明 <0.

,

>0,

所以 在a∈(1,e]是單調(diào)遞增函數(shù),

所以 <0,

故命題成立


【解析】(1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)等于0求出根,列出x,f′(x),f(x)的情況變化表,通過表得到函數(shù)的最小值,令最小值小于等于0即可.(2)求出g(x)的導(dǎo)函數(shù),判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),得到函數(shù)g(x)遞減,求出g(x)的最大值及最小值,通過分析法只需證得最大值與最小值差的絕對(duì)值小于1即可,構(gòu)造新函數(shù)h(x),h(x)的導(dǎo)函數(shù),判斷出其符號(hào),進(jìn)一步求出h(x)的最大值,得證.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.2
C.1
D.

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(2)若該公司采用模型函數(shù)y= 作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型,試確定最小的正整數(shù)a的值.

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