已知曲線C：
x2
4
+
y2
9
=1，直線l：
x=2+t
y=2-2t
（t為參數(shù)）
（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程．
（Ⅱ）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．
考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程
分析：（Ⅰ）聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲線C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（2cosθ，3sinθ）．由點(diǎn)到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以
sin30°進(jìn)一步得到|PA|，化積后由三角函數(shù)的范圍求得|PA|的最大值與最小值．
解答：解：（Ⅰ）對(duì)于曲線C：
x2
4
+
y2
9
=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=3sinθ
，（θ為參數(shù)）．
對(duì)于直線l：
x=2+t  ①
y=2-2t  ②
，
由①得：t=x-2，代入②并整理得：2x+y-6=0；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（2cosθ，3sinθ）．
P到直線l的距離為d=
5
5
|4cosθ+3sinθ-6|．
則|PA|=
d
sin30°
=
2
5
5
|5sin(θ+α)-6|，其中α為銳角．
當(dāng)sin（θ+α）=-1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為
22
5
5
．
當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為
2
5
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查普通方程與參數(shù)方程的互化，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)）被曲線p=2
2
cos（θ+
π
4
）所截得的弦長為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸同時(shí)建立極坐標(biāo)系，若直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
，曲線C的參數(shù)方程為
x=-1+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)），則在曲線C上點(diǎn)到直線l上點(diǎn)的最小距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的參數(shù)方程為
x=cosθ+1
y=sinθ
（θ為參數(shù)），則點(diǎn)P（3，0）與圓C上的點(diǎn)的最近距離是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

P是曲線
x=sinθ+cosθ
y=1-sin2θ
（θ∈[0，2π]是參數(shù)）上一點(diǎn)，P到點(diǎn)Q（0，2）距離的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
t
 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ=0．
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離d的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線l的參數(shù)方程為
x=
2
+t
y=t
（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=1．
（1）求直線l與圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過伸縮變換
x′=x
y′=2y
得到曲線C′，設(shè)M（x，y）為曲線C′上一點(diǎn)，求4x2+xy+y2的最大值，并求相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
+tcosα
y=tsinα
（t 為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2cosθ
sin2θ
．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=（x-1）sinx，x∈[-π，π]的圖象為（　　）
A、
B、
C、
D、

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同步練習(xí)冊(cè)答案