【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式f (x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)遞增區(qū)間是(-2,-1),(0,+∞),遞減區(qū)間是.
(2)m>e2﹣2.(3)2﹣2ln2<a≤3﹣2ln3.
【解析】
(1)已知f(x)=(1+x)2﹣ln(1+x)2求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),然后令f′(x)=0,解出函數(shù)的極值點(diǎn),最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求解;
(2)由題意當(dāng)時(shí),不等式f (x)<m恒成立,只要求出f(x)的最大值小于m就可以了,從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)將原式變形轉(zhuǎn)化得方程g(x)=x﹣a+1﹣2ln(1+x)=0在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖象,得到,從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
∵,
由f′(x)>0,得x>0或-2<x<-1;由f′(x)<0,得﹣1<x<0或x<-2.
∴f(x)的遞增區(qū)間是(-2,-1),(0,+∞),遞減區(qū)間是.
(2)∵由,得x=0,x=﹣2(舍去)
由(1)知f(x)在上遞減,在[0,e﹣1]上遞增.
又,f(e﹣1)=e2﹣2,且.
∴當(dāng)時(shí),f(x)的最大值為e2﹣2.
故當(dāng)m>e2﹣2時(shí),不等式f(x)<m恒成立.
(3)方程f(x)=x2+x+a,x﹣a+1﹣2ln(1+x)=0.
記g(x)=x﹣a+1﹣2ln(1+x),
∵,
由g′(x)>0,得x>1或x<﹣1(舍去).由g′(x)<0,得﹣1<x<1.
∴g(x)在[0,1]上遞減,在[1,2]上遞增.
為使方程f(x)=x2+x+a在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,
只須g(x)=0在[0,1]和(1,2]上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是有
∵2﹣2ln2<3﹣2ln3,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是2﹣2ln2<a≤3﹣2ln3.
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(1)求分?jǐn)?shù)在[50,60)的頻率及全班人數(shù);
(2)求分?jǐn)?shù)在[80,90)的頻數(shù),并計(jì)算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高;
(3)若規(guī)定:90分(包含90分)以上為優(yōu)秀,現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在80分(包含80分)以上的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,求在抽取的試卷中至少有一份優(yōu)秀的概率.
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(2)當(dāng)時(shí),求的值.
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(2)已知該果園今年共收獲果徑在80以上的蘋果,且售價(jià)為特級(jí)果12元,一級(jí)果10元,二級(jí)果9元.設(shè)該果園售出這蘋果的收入為,以頻率估計(jì)概率,求的數(shù)學(xué)期望.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則
,,.
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