Question

數(shù)列{an}中，，試證：．

 

Answer 1

見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：由題設(shè)知an＞0，當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，．假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N）時(shí)，，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，，．再用作商法比較和的大�。畯亩�證明出，．

證明：∵a1=2，，∴an＞0，

∵0.5an2﹣an+1an+1=0，由△=an+12﹣2≥0，得（舍去）或．

當(dāng)n=1時(shí)，；

當(dāng)n=2時(shí)，．

假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N）時(shí)，，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，，

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，

∴．

面用作商法比較和的大�。�

∵=，

∴，

∴，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，成立．

∴對(duì)于任意n∈N，均成立．