【題目】某地要建造一個邊長為2(單位:km)的正方形市民休閑公園OABC,將其中的區(qū)域ODC開挖成一個池塘,如圖建立平面直角坐標系后,點D的坐標為(1,2),曲線OD是函數(shù)y=ax2圖象的一部分,對邊OA上一點M在區(qū)域OABD內(nèi)作一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖象,與線段DB交于點N(點N不與點D重合),且線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P,四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū):
(1)求證:b=﹣ ;
(2)設(shè)點P的橫坐標為t,①用t表示M、N兩點坐標;②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S(t),并求S的最大值.
【答案】
(1)證明:函數(shù)y=ax2過點D(1,2),
代入計算得a=2,
∴y=2x2;
由 ,消去y得2x2﹣kx﹣b=0,
由線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P,
得△=(﹣k)2﹣4×2×b=0,
解得b=﹣
(2)解:設(shè)點P的橫坐標為t,則P(t,2t2);
①直線MN的方程為y=kx+b,
即y=kx﹣ 過點P,
∴kt﹣ =2t2,
解得k=4t;
y=4tx﹣2t2
令y=0,解得x= ,∴M( ,0);
令y=2,解得x= + ,∴N( + ,2);
②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為
S=S(t)=2×2﹣ ×2×[ +( + )]=4﹣(t+ );
由t+ ≥2 = ,當(dāng)且僅當(dāng)t= ,即t= 時“=”成立,
所以S≤4﹣2 ;即S的最大值是4﹣
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)y=ax2過點D,求出解析式y(tǒng)=2x2;由 ,消去y得△=0即可證明b=﹣ ;(2)寫出點P的坐標(t,2t2),代入①直線MN的方程,用t表示出直線方程為y=4tx﹣2t2 , 令y=0,求出M的坐標;令y=2求出N的坐標; ②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S(t),利用基本不等式求出S的最大值.
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【題目】設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 若a2 , a5 , a11成等比數(shù)列,且a11=2(Sm﹣Sn)(m>n>0,m,n∈N*),則m+n的值是 .
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【題目】在直角坐標系xoy中,已知點P(0, ),曲線C的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρ= .
(Ⅰ)判斷點P與直線l的位置關(guān)系并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C的兩個交點分別為A,B,求 的值.
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【題目】設(shè)向量 =(1,﹣2), =(a,﹣1), =(﹣b,0),其中O為坐標原點,a>0,b>0,若A、B、C三點共線,則 的最小值為 .
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且8sin2 .
(1)求角A的大小;
(2)若a= ,b+c=3,求b和c的值.
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【題目】某市為了制定合理的節(jié)電方案,供電局對居民用電進行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年200戶居民每戶的月均用電量(單位:度),將數(shù)據(jù)按照[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500),[500,600),[600,700),[700,800),[800,900]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中m的值并估計居民月均用電量的中位數(shù);
(Ⅱ)從樣本里月均用電量不低于700度的用戶中隨機抽取4戶,用X表示月均用電量不低于800度的用戶數(shù),求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為 .
(Ⅰ)求圓C的直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)點為P(x,y)為直線l與圓C所截得的弦上的動點,求 的取值范圍.
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【題目】已知拋物線的方程為C:x2=4y,過點Q(0,2)的一條直線與拋物線C交于A,B兩點,若拋物線在A,B兩點的切線交于點P.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)直線PQ與直線AB的夾角為α,求α的取值范圍.
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