Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

2

ax²+ln（x-1），其中a∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意，令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在[2，+∞）上為減函數(shù)即可，即g′（x）≤0在[2，+∞）上恒成立．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（1，+∞），f′（x）=1-ax+

1

x-1

a≤0時，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
a＞0時，f′（x）＞0可得1＜x＜

a+1

a

；f′（x）＜0，可得x＞

a+1

a

．
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，

a+1

a

），單調(diào)減區(qū)間為（

a+1

a

，+∞）；
（2）假設存在實數(shù)a，對任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜a恒成立，
不妨設0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-ax₂＜f（x₁）-ax₁，
令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在[2，+∞）上為減函數(shù)即可，即g′（x）≤0在[2，+∞）上恒成立．
∵g（x）=（1-a）x-

1

2

ax2+ln（x-1），
∴g′（x）=1-a-ax+

1

x-1

，
由1-a-ax+

1

x-1

≤0可得a≥

x

x2-1

，
令h（x）=

x

x2-1

，則h′（x）=

-x2-1

(x2-1)2

＜0，
∴h（x）在[2，+∞）上為減函數(shù)，
∴h（x）＜h（2）=

2

3

，
∴a≥

2

3

．

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分離參數(shù)法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．