在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a、b、c成等比數(shù)列．
（Ⅰ）若cosB=
1
3
，求
1
tanA
+
1
tanC
的值；
（Ⅱ）若△ABC的周長(zhǎng)為6，求△ABC的面積的最大值．
考點(diǎn)：正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
專(zhuān)題：解三角形
分析：（Ⅰ）利用△ABC中，a、b、c成等比數(shù)列及正弦定理可得sin2B=sinAsinC，再結(jié)合cosB=
1
3
，將所求關(guān)系式中的切化弦即可求得其值；
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式可求得cosB≥
1
2
，B∈（0，
π
3
]，6=a+b+c=
ac
+a+c≥3
ac
⇒ac≤4，從而可求得△ABC的面積的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）由a、b、c成等比數(shù)列，得b2=ac，sin2B=sinAsinC----（2分）
又cosB=
1
3
，得sinB=
2
2
3
（0＜B＜π）-----------------------------（3分）
1
tanA
+
1
tanC
=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
---------------------------------------（4分）
=
sin(A+C)
sinAsinC
-------------------------------------（5分）
=
1
sinB
=
3
2
4
------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）cosB=
a2+c2-b2
2ac
≥
ac
2ac
=
1
2
，-------------------------（7分）
∴B∈（0，
π
3
]，∴sinB≤
3
2
--------------------------------（8分）
又6=a+b+c=
ac
+a+c≥3
ac
 （當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取“=”）------------（9分）
∴ac≤4，（10分）
∴S△ABC=
1
2
acsinB≤
1
2
×4×
3
2
=
3
--------------------（11分）
∴S△ABC的最大值為
3
---------------（12分）（文科）
點(diǎn)評(píng)：本題考同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，著重考查正弦定理與余弦定理及基本不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意x，y∈R，x+y≠0，都有
f(x)+f(y)
x+y
＞0，若x＞2y，則（　　）
A、f（x）＞f（2y）
B、f（x）≥f（2y）
C、f（x）＜f（2y）
D、f（x）≤f（2y）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，1）．
（1）若橢圓的離心率為
2
2
，求橢圓的方程；
（2）若橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，滿(mǎn)足OP⊥OQ．
①已知命題：“直線PQ恒與定圓C相切”是真命題，試直接寫(xiě)出圓C的方程；（不需要解答過(guò)程）
②設(shè)①中的圓C交y軸的負(fù)半軸于M點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2-m的圖象過(guò)點(diǎn)M．點(diǎn)A，B在該圖象上，當(dāng)A，O，B三點(diǎn)共線時(shí)，求△MAB的面積S的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C1：
x2
a
2
1
-
y2
b
2
1
=1（a1＞0，b1＞0）和橢圓C2：
y2
a
2
2
+
x2
b
2
2
=1（a2＞b2＞0）均過(guò)點(diǎn)P（
2
3
3
，1），且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得l與C1交于A、B兩點(diǎn)，與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，且|
OA
+
OB
|=|
AB
|？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，（2+
3
）n必可表示成
s
+
s-1
的形式，其中s∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
1
sinB
．
（1）求證：0＜B≤
π
3
；
（2）若sinB=
7
4
，且
BA
•
BC
=
3
2
，求|
BC
+
BA
|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有丨FA丨=丨FD丨．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，
（�。┳C明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，
π
2
]
（1）求證：f（x）≤0；
（2）若a＜
sinx
x
＜b對(duì)x∈（0，
π
2
）上恒成立，求a的最大值與b的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，定義某種運(yùn)算S=a?b，運(yùn)算原理如圖所示，則式子（2tan
5π
4
）?lne+10lg2?（
1
3
）-1的值為
 
．

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