在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
1
sinB
．
（1）求證：0＜B≤
π
3
；
（2）若sinB=
7
4
，且
BA
•
BC
=
3
2
，求|
BC
+
BA
|的值．
考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：三角函數(shù)的求值,解三角形
分析：（1）已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，整理后利用正弦定理化簡(jiǎn)得到關(guān)系式，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將得出的關(guān)系式代入并利用基本不等式變形求出cosB的范圍，即可確定出B的范圍；
（2）由sinB的值，確定出cosB的值，已知等式左邊利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算求出ac的值，進(jìn)而確定出b的值，利用余弦定理求出a2+c2的值，所求式子平方后，利用完全平方公式展開，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算，將各自的值代入計(jì)算，開方即可求出值．
解答： 解：（1）∵
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+cosCsinA
sinAsinC
=
sin(A+C)
sinAsinC
=
sinB
sinAsinC
=
1
sinB
，
∴sinAsinC=sin2B，
由正弦定理可得，b2=ac，
∵b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，
∴cosB≥
1
2
，即0＜B≤
π
3
；
（2）∵sinB=
7
4
，且b2=ac，
∴B不是最大角，
∴cosB=
1-sin2B
=
3
4
，
∴
BA
•
BC
=cacosB=
3
4
ac=
3
2
，即ac=2，
∴b2=2，
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
∴a2+c2=5，
則|
BC
+
BA
|2=a2+c2+2
BC
•
BA
=a2+c2+2accosB=8，
即|
BC
+
BA
|=2
2
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知PA⊥菱形ABCD所在平面，點(diǎn)E、F分別為線段BC、PA的中點(diǎn)．    
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求證：BF∥平面PDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=35，a3-1是a1+1和a4的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）若bn=
an2-3
Sn-n
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a3+a10=15，且a2，a5，a11成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=
1
an
+
1
an+1
+…+
1
a2n-1
，試比較bn+1與bn的大小，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a、b、c成等比數(shù)列．
（Ⅰ）若cosB=
1
3
，求
1
tanA
+
1
tanC
的值；
（Ⅱ）若△ABC的周長(zhǎng)為6，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
e2x
x-1

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥2時(shí)，f′（x）≥af（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H．
（1）求證：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），且當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，f（x）=lnx．若在區(qū)間[1，9）內(nèi)，存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得
f(x1)
x1
=
f(x2)
x2
=
f(x3)
x3
=t，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知底面是正方形的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)AB=6，側(cè)棱長(zhǎng)AA1=2
7
，它的外接球的球心為O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O上任意一點(diǎn)，有以下判斷：
①PE長(zhǎng)的最大值是9；
②三棱錐P-EBC體積最大值是15+3
7
；
③存在過(guò)點(diǎn)E的平面，截球O的截面面積是8π；
④Q是球O上另一點(diǎn)，PQ=8，則四面體ABPQ體積的最大值為56；
⑤過(guò)點(diǎn)E的平面截球O所得截面面積最大時(shí)，B1C垂直于該截面．
其中判斷正確的序號(hào)是
 
．

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