Question

已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，

π

2

]
（1）求證：f（x）≤0；
（2）若a＜

sinx

x

＜b對(duì)x∈（0，

π

2

）上恒成立，求a的最大值與b的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，判定出在區(qū)間∈（0，

π

2

）上f′（x）=-xsinx＜0，得f（x）在區(qū)間∈[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，從而f（x）≤f（0）=0．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，“

sinx

x

＞a”等價(jià)于“sinx-ax＞0”，“

sinx

x

＜b”等價(jià)于“sinx-bx＜0”構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx-cx，通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論參數(shù)c求出函數(shù)的最值，進(jìn)一步求出a，b的最值．

解答： 解：（1）由f（x）=xcosx-sinx得
f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
此在區(qū)間∈（0，

π

2

）上f′（x）=-xsinx＜0，
所以f（x）在區(qū)間∈[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，
從而f（x）≤f（0）=0．

（2）當(dāng)x＞0時(shí)，“

sinx

x

＞a”等價(jià)于“sinx-ax＞0”，“

sinx

x

＜b”等價(jià)于“sinx-bx＜0”
令g（x）=sinx-cx，則g′（x）=cosx-c，
當(dāng)c≤0時(shí)，g（x）＞0對(duì)x∈（0，

π

2

）上恒成立，
當(dāng)c≥1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意x∈（0，

π

2

），g′（x）=cosx-c＜0，
所以g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，
從而，g（x）＜g（0）=0對(duì)任意x∈（0，

π

2

）恒成立，
當(dāng)0＜c＜1時(shí)，存在唯一的x₀∈（0，

π

2

）使得g′（x₀）=cosx₀-c=0，
g（x）與g′（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上的情況如下：

x	（0，x0）	x0	（x0， π 2 ）
g′（x）	+		-
g（x）	↑		↓

因?yàn)間（x）在區(qū)間（0，x₀）上是增函數(shù)，
所以g（x₀）＞g（0）=0進(jìn)一步g（x）＞0對(duì)任意x∈（0，

π

2

）恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)g(

π

2

)=1-

π

2

c≥0即0＜c≤

2

π

綜上所述當(dāng)且僅當(dāng)c≤

2

π

時(shí)，g（x）＞0對(duì)任意x∈（0，

π

2

）恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)c≥1時(shí)，g（x）＜0對(duì)任意x∈（0，

π

2

）恒成立，
所以若a＜

sinx

x

＜b對(duì)x∈（0，

π

2

）上恒成立，則a的最大值為

2

π

，b的最小值為1

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；考查解決不等式問題常通過構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)的最值問題，屬于一道綜合題．