Question

若曲線(xiàn)f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1在點(diǎn)（0，1）處的切線(xiàn)與該曲線(xiàn)還切于其它點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意求導(dǎo)f′（x）=4x³+3ax²+2x+1，從而可寫(xiě)出切線(xiàn)方程y=x+1，從而得到4x²+3ax+2=0與x²+ax+1=0有相同的解，從而聯(lián)立方程解a．

解答： 解：∵f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1，f′（x）=4x³+3ax²+2x+1；
∴f′（0）=1；
故切線(xiàn)方程為y=x+1；
又∵曲線(xiàn)f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1在點(diǎn)（0，1）處的切線(xiàn)與該曲線(xiàn)還切于其它點(diǎn)，
∴f′（x）=4x³+3ax²+2x+1=1有非零解，f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1=x+1有非零解；
且有相同的非零解；
即4x²+3ax+2=0與x²+ax+1=0有相同的解，
聯(lián)立方程得，

4x2+3ax+2=0 x2+ax+1=0

；
解得，x=-1，a=2，或x=1，a=-2；
故答案為：±2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．