Question

【題目】設(shè)數(shù)列 的前 n 項和為 Sn ，且(3-m)Sn+2man=m+3() ，其中 m 為常數(shù)，且 .
①求證： 是等比數(shù)列；
②若數(shù)列 的公比為q=f(m) ，數(shù)列 {bn} 滿足 b1=a1 ， ，求證： 為等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】【解答】解：①由 (3-m)Sn+2man=m+3 ，得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3 ，
兩式相減，得(3+m)an+1=2man ( ) ，
∴ .
又m為常數(shù)，且 ，∴ 是等比數(shù)列.
②∵ (3-m)Sn+2man=m+3 ，
∴(3-m)a1+2ma1=m+3 .
∴ a1=1,b1=a=1, .
由①可得， .
∴ 當(dāng) ，且 時， .∴ .
∴ .
∴數(shù)列 是首項為1，公差為 的等差數(shù)列.
【解析】本題主要考查了分析法與綜合法，解決問題的關(guān)鍵是需要利用等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義使用綜合法加以證明，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥幚磉f推關(guān)系.
綜合法證明數(shù)列問題時的證明依據(jù)主要來源于以下數(shù)列的相關(guān)知識：(1)數(shù)列的概念，特別是等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義；(2)等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列前 n 項和的性質(zhì)；(3)數(shù)列的通項公式 an 與數(shù)列的前 n 項和 Sn 之間的關(guān)系 (4)遞推公式與通項公式的關(guān)系.