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【題目】已知數列,,且對任意n恒成立．

（1）求證:();

（2）求證:().

【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析

【解析】

（1）利用數學歸納法直接證明,假設當時,成立,則當時,,將代入即可證得:當時,成立,即可求得答案;

（2）由（1）,利用數學歸納法證明,即可求得答案;

（1）當時,

滿足成立.

假設當時,結論成立.即:成立

下證:當時,成立。

即:當時,成立

綜上所述:()成立。

（2）①當時,成立,

當時,成立,

②假設時(),結論正確,即:成立

下證:當時,成立.

要證,

只需證

只需證:,

只需證:

即證:,().

記

當時,

在上遞增,

又

當時,恒成立。

即:當時,成立。

即:當時,恒成立.

當,恒成立.

由①②可得:對任意的正整數,不等式恒成立,命題得證

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，已知PA，PB，PC兩兩垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱錐P﹣ABC的體積為10.

（1）求點A到直線BC的距離；

（2）若D是棱BC的中點，求異面直線PB，AD所成角的大�。ńY果用反三角函數值表示）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某人經營淡水池塘養(yǎng)草魚，根據過去期的養(yǎng)殖檔案，該池塘的養(yǎng)殖重量(百斤)都在百斤以上，其中不足百斤的期，不低于百斤且不超過百斤的有期，超過百斤的有期.根據統(tǒng)計，該池塘的草魚重量的增加量(百斤)與使用某種餌料的質量(百斤)之間的關系如圖所示.

魚的重量(單位:百斤)

沖水機運行臺數

1

2

3

（1）根據數據可知與具有線性相關關系，請建立關于的回歸方程；如果此人設想使用某種餌料百斤時，草魚重量的增加量須多于百斤，請根據回歸方程計算，確定此方案是否可行？并說明理由.

（2）養(yǎng)魚的池塘對水質含氧與新鮮度要求較高，故養(yǎng)殖戶需設置若干臺增氧沖水機，每期養(yǎng)殖使用的沖水機運行臺數與魚塘的魚重量有關，并有如下關系:

若某臺增氧沖水機運行，則該臺沖水機每期盈利千元；若某臺沖水機未運行，則該臺沖水機每期虧損千元.以頻率 作為概率，養(yǎng)殖戶欲使每期沖水機總利潤的均值達到最大，應安裝幾臺增氧沖水機？

附:對于一組數據，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為，若曲線與曲線關于直線對稱.

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與的異于極點的交點為，與的異于極點的交點為，求.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知集合,設整除或整除,令表示集合所含元素的個數．

（1）寫出的值;

（2）當時,寫出的表達式,并用數學歸納法證明.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓，連接并延長交圓于點為橢圓長軸上一點（異于左、右焦點），過點作橢圓長軸的垂線分別交橢圓和圓于點（均在軸上方）.連接，記的斜率為，的斜率為.

①求的值；

②求證：直線的交點在定直線上.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某商家統(tǒng)計了去年，兩種產品的月銷售額（單位：萬元），繪制了月銷售額的雷達圖，圖中點表示產品2月份銷售額約為20萬元，點表示產品9月份銷售額約為25萬元.

根據圖中信息，下面統(tǒng)計結論錯誤的是（ ）

A.產品的銷售額極差較大B.產品銷售額的中位數較大

C.產品的銷售額平均值較大D.產品的銷售額波動較小

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”簡稱“創(chuàng)城”活動中，教委對本區(qū)A，B，C，D四所高中校按各校人數分層抽樣調查，將調查情況進行整理后制成如表：

學校

A

B

C

D

抽查人數

50

15

10

25

“創(chuàng)城”活動中參與的人數

40

10

9

15

注：參與率是指：一所學校“創(chuàng)城”活動中參與的人數與被抽查人數的比值

假設每名高中學生是否參與“創(chuàng)城”活動是相互獨立的．

Ⅰ若該區(qū)共2000名高中學生，估計A學校參與“創(chuàng)城”活動的人數；

Ⅱ在隨機抽查的100名高中學生中，從A，C兩學校抽出的高中學生中各隨機抽取1名學生，求恰有1人參與“創(chuàng)城”活動的概率；

Ⅲ若將表中的參與率視為概率，從A學校高中學生中隨機抽取3人，求這3人參與“創(chuàng)城”活動人數的分布列及數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】求矩陣M＝的特征值和特征向量．

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