設(shè)函數(shù)
在
上的最大值為
(
).
(1)求數(shù)列
的通項公式;
(2)求證:對任何正整數(shù)n (n≥2),都有
成立;
(3)設(shè)數(shù)列
的前n項和為S
n,求證:對任意正整數(shù)n,都有
成立.
(1)
;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
試題分析:(1)先求得
,令
,得
或
,因為要考慮根與定義域
的位置關(guān)系,故需討論n的取值.當
時,
,此時
,函數(shù)單調(diào)遞減;當
時,
,將定義域分段,并考慮導函數(shù)符號,劃分單調(diào)區(qū)間,判斷函數(shù)大致圖象,進而求最大值,從而求得
;(2)由(1)得
,將所求證不等式等價變形為,
,再利用二項式定理證明;(3)由(2)得,
,再將不等式放縮為可求和的數(shù)列問題處理.
(1)
,
當
時,由
知
或
,
當
時,則
,
時,
,
在
上單調(diào)遞減,
所以
當
時,
,
時,
,
時,
,
∴
在
處取得最大值,即
,
綜上所述,
.
(2)當
時,要證
,只需證明
∵
∴
,所以,當
時,都有
成立.
(3)當
時,結(jié)論顯然成立;
當
時,由(II)知
.
所以,對任意正整數(shù)
,都有
成立. 13分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
記函數(shù)f
n(x)=a·x
n-1(a∈R,n∈N
*)的導函數(shù)為f′
n(x),已知f′
3(2)=12.
(1)求a的值;
(2)設(shè)函數(shù)g
n(x)=f
n(x)-n
2ln x,試問:是否存在正整數(shù)n使得函數(shù)g
n(x)有且只有一個零點?若存在,請求出所有n的值;若不存在,請說明理由;
(3)若實數(shù)x
0和m(m>0且m≠1)滿足
=
,試比較x
0與m的大小,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,
.
(1)求函數(shù)
的最小值;
(2)若
,證明:當
時,
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
[2014·山東濟寧]已知f(x)=
x
2+2xf′(2014)+2014lnx,則f′(2014)=( )
A.2015 | B.-2015 | C.2014 | D.-2014 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
(2012•廣東)曲線y=x3﹣x+3在點(1,3)處的切線方程為 _________ .
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-2)=2,對任意x∈R,xf′(x)>-f(x),則xf(x)<-4的解集為( )
A.(-2,2) | B.(-2,+∞) | C.(-∞,-2) | D.(-∞,+∞) |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)f(x)=
,要得到
f′(x)的圖象,只需將f(x)的圖象( 。﹤單位.
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