Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+bx，g（x）=alnx，（a＞0）．
（1）當(dāng)a=x時(shí)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=x時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)解不等式g′（x）＜0，g′（x）＞0即可；
（2）f′（x）=-3x²+2x+b，由f（x）存在極值點(diǎn)，知f′（x）=）=-3x²+2x+b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而可得△＞0；

解答： 解：（1）當(dāng)a=x時(shí)，函數(shù)g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，
令g′（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

e

]，
令g′（x）＞0，解得x＞

1

e

，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

e

，+∞）．
（2）∵f′（x）=-3x²+2x+b，
若f（x）存在極值點(diǎn)，則f′（x）=）=-3x²+2x+b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4+12b＞0，解得b＞-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查學(xué)生的運(yùn)算能力轉(zhuǎn)化能力．