Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點(diǎn)E是正方形BCC₁B₁的中心，點(diǎn)F，G分別是棱C₁D₁，DD₁的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)E₁是點(diǎn)E在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影．
（1）證明：直線FG⊥平面FEE₁；
（3）求異面直線E₁G與EA所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由

FG

•

FE

=0，

FG

•

FE1

=0，利用向量法能證明直線FG⊥平面FEE₁．
（2）求出

E1G

=（0，-2，0），

EA

=（1，-2，-1），利用向量法能求出異面直線E₁G與EA所成角的正弦值．

解答： （1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得G（0，0，1），F(xiàn)（0，1，2），
E（1，2，1），E₁（0，2，1），

FG

=（0，-1，-1），

FE

=（1，1，-1），

FE1

=（0，1，-1），
∴

FG

•

FE

=0-1+1=0，

FG

•

FE1

=0-1+1=0，
∴

FG

⊥

FE

，

FG

⊥

FE1

，
∴FG⊥FE，F(xiàn)G⊥FE₁，
又FE∩FE₁=F，∴直線FG⊥平面FEE₁．
（2）解：A（2，0，0），

E1G

=（0，-2，0），

EA

=（1，-2，-1），
設(shè)異面直線E₁G與EA所成角為θ，
cosθ=

| E1G • EA |

| E1G |•| EA |

=

4

2 6

=

6

3

，
∴sinθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．
∴異面直線E₁G與EA所成角的正弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．