Question

設(shè)A，B，C為圓O上三點，且滿足|

AB

|=1，|

AC

|=

2

，

AO

=x

AB

+y

AC

，則點集{（x，y）||

AO

|≥1且|2x-4|+|y|≤4}所表示的區(qū)域的面積是（　�。�

• A、2

  2

• B、2
• C、4

  2

• D、4

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)圓的性質(zhì)和條件，利用向量的數(shù)量積分別求出

AO

•

AB

、

AO

•

AC

的值，再得

AO

2=x

AO

•

AB

+y

AO

•

AC

，求出|

AO

|≥1的表達式，再分四種情況對|2x-4|+|y|≤4進行化簡，根據(jù)列出的一元二次不等式畫出滿足條件的平面區(qū)域，然后結(jié)合圖形可知條件表示的圖形，最后利用直線的位置關(guān)系求出其面積．

解答： 解：設(shè)AB的中點為D，
由A，B為圓O上三點得：DO⊥AB，
∴

AO

•

AB

=(

AD

+

DO

)•

AB

=

AD

•

AB

=

1

2

AB

2=

1

2

，
同理可得，

AO

•

AC

=

1

2

AC

2=1，
由

AO

=x

AB

+y

AC

得，

AO

2=x

AO

•

AB

+y

AO

•

AC

=

1

2

x+y，
∵|

AO

|≥1，∴

AO

2=|

AO

|2=

1

2

x+y≥1，即x+2y-2≥0，
由|2x-4|+|y|≤4得，
當x≥2、y≥0時，|2x-4|+|y|≤4變?yōu)椋?x+y-8≤0；
當x＜2、y≥0時，|2x-4|+|y|≤4變?yōu)椋?x-y≥0；
當x≥2、y＜0時，|2x-4|+|y|≤4變?yōu)椋?x-y-8≤0；
當x＜2、y＜0時，|2x-4|+|y|≤4變?yōu)椋?x+y≥0；
根據(jù)以上5個不等式畫出一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分：
由直線x+2y=0和2x+y+8=0平行，以及直線2x-y=0和2x-y-8=0平行知，
四邊形DEFH的面積與三角形OEF的面積相等，
即得所求面積為

1

2

×4×4=8，
故選：B．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算、圓的性質(zhì)，以及一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域，同時考查了轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合的思想，難度較大．