【題目】【2014福建,文22】已知函數(shù)(為常數(shù))的圖像與軸交于點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
(1)求的值及函數(shù)的極值;
(2)證明:當(dāng)時(shí),
(3)證明:對(duì)任意給定的正數(shù),總存在,使得當(dāng)時(shí),恒有
【答案】(1)當(dāng)時(shí),有極小值,無極大值.
(2)見解析.(3)見解析.
【解析】
試題分析:(1)由,得.
從而.
令,得駐點(diǎn).討論可知:
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí),有極小值,無極大值.
(2)令,則.
根據(jù),知在R上單調(diào)遞增,又,
當(dāng)時(shí),由,即得.
(3)思路一:對(duì)任意給定的正數(shù)c,取,
根據(jù).得到當(dāng)時(shí),.
思路二:令,轉(zhuǎn)化得到只需成立.
分,,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性.
思路三:就①,②,加以討論.
試題解析:
【解法一】
(1)由,得.
又,得.
所以,.
令,得.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí),有極小值,
且極小值為,
無極大值.
(2)令,則.
由(1)得,,即.
所以在R上單調(diào)遞增,又,
所以當(dāng)時(shí),,即.
(3)對(duì)任意給定的正數(shù)c,取,
由(2)知,當(dāng)時(shí),.
所以當(dāng)時(shí),,即.
因此,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在,當(dāng)時(shí),恒有.
【解法二】
(1)同解法一.
(2)同解法一.
(3)令,要使不等式成立,只要成立.
而要使成立,則只需,即成立.
①若,則,易知當(dāng)時(shí),成立.
即對(duì)任意,取,當(dāng)時(shí),恒有.
②若,令,則,
所以當(dāng)時(shí),,在內(nèi)單調(diào)遞增.
取,
,
易知,,所以.
因此對(duì)任意,取,當(dāng)時(shí),恒有.
綜上,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在,當(dāng)時(shí),恒有.
【解法三】
(1)同解法一.
(2)同解法一.
(3)①若,取,
由(2)的證明過程知,,
所以當(dāng)時(shí),有,即.
②若,
令,則,
令得.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
取,
,
易知,又在內(nèi)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),恒有,即.
綜上,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在,當(dāng)時(shí),恒有.
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【題目】據(jù)市場分析,南雄市精細(xì)化工園某公司生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品,當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時(shí),月生產(chǎn)總成本y(萬元)可以看成月產(chǎn)量x(噸)的二次函數(shù);當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時(shí),月總成本為20萬元;當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí),月總成本最低為17.5萬元,為二次函數(shù)的頂點(diǎn).寫出月總成本y(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系.已知該產(chǎn)品銷售價(jià)為每噸1.6萬元,那么月產(chǎn)量為多少時(shí),可獲最大利潤?
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【題目】已知四邊形為直角梯形,,,,,為中點(diǎn),,與交于點(diǎn),沿將四邊形折起,連接.
(1)求證:平面;
(2)若平面平面.
(I)求二面角的平面角的大。
(II)線段上是否存在點(diǎn),使平面,若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】制定投資計(jì)劃時(shí),不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測,甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元,要求確?赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?
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【題目】(2016·哈爾濱高二檢測)如圖,下列四個(gè)幾何體中,它們的三視圖(正視圖、俯視圖、側(cè)視圖)有且僅有兩個(gè)相同,而另一個(gè)不同的兩個(gè)幾何體是________.
(1)棱長為2的正方體 (2)底面直徑和高均為2的圓柱
(3)底面直徑和高
均為2的圓錐
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【題目】【2015高考四川,文21】已知函數(shù)f(x)=-2lnx+x2-2ax+a2,其中a>0.
(Ⅰ)設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解.
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【題目】(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同.
(1)求此橢圓的方程;
(2)若過此橢圓的右焦點(diǎn)的直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),則
①求直線的方程;
②橢圓上是否存在點(diǎn),使得,若存在,請(qǐng)說明一共有幾個(gè)點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購買的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就是越高,具體浮動(dòng)情況如下表:
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 | ||
浮動(dòng)因素 | 浮動(dòng)比率 | |
上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機(jī)構(gòu)為了 某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(1)按照我國《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定, ,記為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車,假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.
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【題目】2017年1月1日,作為貴陽市打造“千園之城”27個(gè)示范性公園之一的泉湖公園正式開園.元旦期間,為了活躍氣氛,主辦方設(shè)置了水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目向全體市民開放.現(xiàn)從到公園游覽的市民中隨機(jī)抽取了60名男生和40名女生共100人進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)出100名市民中愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況,具體數(shù)據(jù)如圖表:
(1)根據(jù)條件完成下列
列聯(lián)表,并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的情況下愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)?
愿意 | 不愿意 | 總計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
總計(jì) |
(2)水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目共有兩關(guān),主辦方規(guī)定:挑戰(zhàn)過程依次進(jìn)行,每一關(guān)都有兩次機(jī)會(huì)挑戰(zhàn),通過第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn),若甲參加每一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為
,記甲通過的關(guān)數(shù)為
,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式與數(shù)據(jù):
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
.
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