Question

【題目】已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點（如圖），
求證：
（1）對角線AC、BD是異面直線；
（2）直線EF和HG必交于一點，且交點在AC上．

Answer 1

【答案】
（1）證明：假設(shè)對角線AC、BD在同一平面α內(nèi)，

則A、B、C、D都在平面α內(nèi)，這與ABCD是空間四邊形矛盾，

∴AC、BD是異面直線．

（2）證明：∵E、H分別是AB、AD的中點，∴EH BD．

又F、G分別是BC、DC的三等分點，

∴FG BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．

∴FE與GH相交．

設(shè)交點為O，又O在GH上，GH在平面ADC內(nèi)，∴O在平面ADC內(nèi)．

同理，O在平面ABC內(nèi)．

從而O在平面ADC與平面ABC的交線AC上．

【解析】（1）利用反證法證明對角線AC、BD是共面直線，推出矛盾，從而證明是異面直；（2）說明直線EF和HG必交于一點，然后證明這點在平面ADC內(nèi)．又在平面ABC內(nèi)，必在它們的交線AC上．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面的基本性質(zhì)及推論(如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi);過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面;如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線)，還要掌握異面直線的判定(過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．