Question

已知遞增等差數列{a_n}中的a₂，a₅是函數f（x）=x³-7x+10的兩個零點，數列{b_n}滿足：點（b_n，S_n）在直線y=-x+1上，其中S_n是數列{b_n}的前n項和．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由函數零點的定義和遞增數列的特征，求出a₂、a₅的值，再求出公差d，代入等差數列的通項公式化簡；
（2）點（b_n，S_n）在直線y=-x+1，由“n=1時b₁=S₁”和“n≥2時b_n=S_n-S_n-1”化簡，根據等比數列的定義判斷出數列{b_n}是等比數列，再由等比數列的前n項和公式求出S_n．

解答： 解：（1）因為a₂，a₅是函數f（x）=x³-7x+10的兩個零點，
所以a₂=2、a₅=5或a₂=5、a₅=2，
因為等差數列{a_n}是遞增數列，
所以a₂=2、a₅=5，則公差d=

a5-a2

5-2

=1，
則a_n=a₂+（n-2）d=n；
（2）因為點（b_n，S_n）在直線y=-x+1上，則S_n=-b_n+1．
當n=1時，b₁=S₁=-b₁+1，則

1

2

．
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=（-b_n+1）-（-b_n-1+1），
化簡得：2b_n=b_n-1，即b_n=

1

2

b_n-1，
所以數列{b_n}為首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，
則S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

點評：本題考查等差數列的通項公式，等比數列的定義、前n項和公式，數列的單調性，公式：“n=1時a₁=S₁”和“n≥2時a_n=S_n-S_n-1”的應用，以及函數的零點的定義，涉及的知識點多，比較綜合．