【題目】對(duì)于曲線,若存在非負(fù)實(shí)常數(shù),使得曲線上任意一點(diǎn)成立(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),則稱曲線為既有外界又有內(nèi)界的曲線,簡稱有界曲線,并將最小的外界成為曲線的外確界,最大的內(nèi)界成為曲線的內(nèi)確界.

1)曲線與曲線是否為有界曲線?若是,求出其外確界與內(nèi)確界;若不是,請(qǐng)說明理由;

2)已知曲線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn),的距離之積為常數(shù),求曲線的外確界與內(nèi)確界.

【答案】1)曲線不是“有界曲線”,理由見解析;曲線是“有界曲線”,其外確界為3,內(nèi)確界為1;(2)當(dāng)時(shí),曲線的外確界與內(nèi)確界分別為;當(dāng)時(shí),曲線的外確界與內(nèi)確界分別為,;

當(dāng)時(shí),曲線的外確界與內(nèi)確界分別為,

【解析】

1)由外確界與內(nèi)確界的概念,結(jié)合曲線方程,數(shù)形結(jié)合得答案;

2)由題意求出曲線的方程,進(jìn)一步得到的范圍,把轉(zhuǎn)化為含有的代數(shù)式,分類討論得答案.

1的圖象為開口向右的拋物線,拋物線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為,無最大值,

∴曲線不是“有界曲線”;

∵曲線的軌跡為以為圓心,以為半徑的圓,如圖:

由圖可知曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為,最大值為,則曲線是“有界曲線”,其外確界為,內(nèi)確界為;

2)由已知得:,

整理得:,

,∴,∴,

,∴,

,

,

,

,

當(dāng)時(shí),,則,

,則曲線的外確界與內(nèi)確界分別為,;

當(dāng)時(shí),,則,

,則曲線的外確界與內(nèi)確界分別為,;

當(dāng)時(shí),,則,

,則曲線的外確界與內(nèi)確界分別為,;

當(dāng)時(shí),,則,

,則曲線的外確界與內(nèi)確界分別為

綜上,當(dāng)時(shí),曲線的外確界與內(nèi)確界分別為,

當(dāng)時(shí),曲線的外確界與內(nèi)確界分別為,;

當(dāng)時(shí),曲線的外確界與內(nèi)確界分別為,

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2)設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”,滿足),求證: );

3)設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”,數(shù)列中的項(xiàng)互不相等且所有項(xiàng)的和等于所有項(xiàng)的積,求出所有的數(shù)列.

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