如圖,橢圓的頂點為,焦點為,.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)n 為過原點的直線,是與n垂直相交于P點,與橢圓相交于A, B兩點的直線,.是否存在上述直線使成立?若存在,求出直線的方程;并說出;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ) (Ⅱ)使成立的直線不存在.

試題分析:(Ⅰ)由a2+b2=7,             ①
a=2c,          ②
b2=a2-c2                                    ③
由 ①,②,③解得a2=4,b2=3,
故橢圓C的方程為
(Ⅱ) 設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為
假設(shè)使成立的直線l存在,

(i) 當(dāng)l不垂直于x軸時,設(shè)l的方程為,
ln垂直相交于P點且,即m2=k2+1
x1x2+y1y2=0
將y=kx+m代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,
由求根公式可得x1+x2=            ④
x1+x2=         ⑤


將④,⑤代入上式并化簡得       ⑥
代入⑥并化簡得,矛盾.
即此時直線不存在.
(ii)當(dāng)垂直于軸時,滿足的直線的方程為,
則A,B兩點的坐標(biāo)為
當(dāng)時,
當(dāng)時,
∴ 此時直線也不存在.
綜上可知,使成立的直線不存在.
點評:橢圓的概念和性質(zhì),仍將是今后命題的熱點,定值、最值、范圍問題將有所加強(qiáng);利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題,其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點;與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個新的重點、熱點.
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