Question

2．已知O為坐標原點，設動點M（2，t）（t＞0）．
（1）若過點P（0，4$\sqrt{3}$）的直線l與圓C：x²+y²-8x=0相切，求直線l的方程；
（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設A（1，0），過點A作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）圓C：x²+y²-8x=0化為（x-4）²+y²=16，得到圓心C（4，0），半徑r=4，分類討論即可求直線l的方程；
（2）設出以OM為直徑的圓的方程，變?yōu)闃藴史匠毯笳页鰣A心坐標和圓的半徑，由以OM為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長，過圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形，利用點到直線的距離公式表示出圓心到3x-4y-5=0的距離d，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出所求圓的方程；
（3）設出點N的坐標，由$\overrightarrow{FN}$⊥$\overrightarrow{OM}$得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則表示出一個關(guān)系式，又$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{ON}$，同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則得到另一個關(guān)系式，把前面得到的關(guān)系式代入即可求出線段ON的長，從而得到線段ON的長為定值．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-8x=0化為（x-4）²+y²=16，得到圓心C（4，0），半徑r=4．
斜率不存在時，x=0滿足題意；
斜率存在時，設切線方程為y=kx+4$\sqrt{3}$，即kx-y+4$\sqrt{3}$=0，
根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑可得4=$\frac{|4k+4\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故切線方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4$\sqrt{3}$，
綜上所述，直線l的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4$\sqrt{3}$或x=0．
（2）以OM為直徑的圓的方程為（x-1）²+（y-$\frac{t}{2}$）=$\frac{{t}^{2}}{4}$+1，
其圓心為（1，$\frac{t}{2}$），半徑r=$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{4}+1}$
因為以OM為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=$\frac{|3-2t-5|}{5}$=$\frac{t}{2}$，解得t=4
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5；
（3）設N（x₀，y₀），則$\overrightarrow{FN}$=（x₀-1，y₀），$\overrightarrow{OM}$=（2，t），$\overrightarrow{MN}$=（x₀-2，y₀-t），$\overrightarrow{ON}$=（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{FN}$⊥$\overrightarrow{OM}$，∴2（x₀-1）+ty₀=0，∴2x₀+ty₀=2，
又∵$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{ON}$，∴x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+ty₀=2，
所以|$\overrightarrow{ON}$|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{2}$為定值．

點評 此題綜合考查了圓的簡單性質(zhì)，垂徑定理及平面向量的數(shù)量積的運算法則．要求學生掌握平面向量垂直時滿足的條件是兩向量的數(shù)量積為0，屬于中檔題．